Corrientes de intensidad variable (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 15:29 23 abr 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 El condensador real
3 Descarga de un condensador
4 Carga de un condensador
5 Corriente alterna

1 Introducción

En general, el movimiento de las cargas es una función del tiempo. No obstante, es de especial interés el caso estacionario (que no estático) en el cual las cargas se mueven pero en un determinado punto del sistema siempre tienen la misma velocidad promedio, de manera que la densidad de corriente es siempre la misma. En ese caso se dice que tenemos corriente continua.

En corriente continua todas las derivadas respecto al tiempo son nulas. En particular, la carga de un condensador permanecerá constante.

Cuando el movimiento de las cargas es función del tiempo hay que tener en cuenta efectos como la variación de la carga en los condensadores y la inducción electromagnética.

El caso general de corrientes dependientes del tiempo puede ser extremadamente complicado, ya que aparecen fenómenos como la radiación electromagnética o el acoplamiento entre diferentes partes de un circuito.

Aquí consideraremos los casos más sencillos. Supondremos corrientes variables en el tiempo pero que cambian lentamente. En este caso, pueden aplicarse generalizaciones de las fórmulas de corriente continua (en particular, la ley de Ohm y la relación entre carga y potencial de un condensador) pero admitiendo que $I = I (t)$ .

2 El condensador real

En su forma general, la ley de conservación de la carga nos dice que la carga ni se crea ni se destruye. Esto quiere decir que si en un volumen cerrado la cantidad de carga contenida está disminuyendo es porque está escapando al exterior (ya que no puede desaparecer).

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Consideremos ahora el caso de un condensador real formado por dos placas metálicas altamente conductoras, entre las cuales se encuentra un medio material dieléctrico de permitividad $\varepsilon$ que tiene una pequeña conductividad $σ$ . En este caso el condensador no funciona como un circuito abierto, sino que puede haber una corriente óhmica que lo atraviese.

Sea $I$ la intensidad de corriente que llega a la placa positiva del condensador. Esa corriente no tiene por qué igualar a la que atraviesa el condensador, ya que puede haber variación en la carga almacenada.

Sea S una superficie cerrada que envuelve a la placa positiva. Aplicando la ley de conservación de la carga a esta superficie queda

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\int_\mathrm{cable} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}+\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

La integral a través de la sección del cable es igual a la intensidad de corriente cambiada de signo, ya que hemos definido I como la corriente que entra, no la que sale

$\int_\mathrm{cable} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = -I$

Sustituimos y despejamos y queda

$I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

que podemos leer como que la intensidad de corriente que llega parte se emplea en variar la carga almacenada y parte se escapa por el medio dieléctrico.

Tenemos tres casos particulares:

Dieléctrico ideal: si el medio dieléctrico no tiene conductividad, la densidad de corriente en él es nula y la ecuación anterior se reduce a

$I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad (\vec{J}=\vec{0})$

Éste es el único caso en que la intensidad de corriente es igual a la derivada de la carga respecto al tiempo, cuando tenemos un condensador ideal de resistencia infinita (o conductancia nula).

Caso estacionario: Si estamos en una situación de corriente continua, todas las derivadas respecto al tiempo se anulan y queda

$I = \int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad\qquad \left(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=0\right)$

En este caso, toda la corriente que llega sigue circulando por el material y el dispositivo se comporta como una resistencia. Esto no quiere decir que no haya carga en las placas, sino que ésta es constante en el tiempo. Ahora bien, si la carga puede circular por el material, ¿cómo puede quedarse a la vez quieta en las placas? La respuesta es que las cargas individuales que están en las placas no son siempre las mismas. Un electrón llega a la placa negativa y las fuerzas eléctricas tiran de él y lo hacen atravesar el material, pero como las placas están conectadas a un generador, las cargas que escapan son sustituidas por otras nuevas.

Dispositivo aislado: Si desconectamos el generador se anula la intensidad de corriente que llega por el cable y la ecuación se reduce a

$-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad \qquad (I=0)$

En este caso lo que tenemos es que sin aporte externo de carga las placas se descargan gradualmente porque se escapan por el material.

Si la carga y la corriente en un condensador real varían lentamente con el tiempo, puede suponerse que la carga es proporcional a la diferencia de potencial, como en el caso estático