Sistema con tres conductores esféricos

De Laplace

Revisión a fecha de 09:11 5 abr 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Cargas y potenciales
- 2.1 Mediante un circuito equivalente
- 2.2 A partir de distribuciones de carga
3 Energía almacenada
4 Campo eléctrico

1 Enunciado

En una esfera metálica de radio 36 mm se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio 18 mm. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio 9 mm. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra a un potencial 8 kV y la otra se encuentra a tierra.

¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?
Halle la energía almacenada en el sistema.
Si tomamos como eje OX el que pasa por los tres centros y origen O el centro del sistema, calcule el módulo del campo eléctrico en las siguientes posiciones

x (mm)	$\left\|\vec{E}\|\right\|$
−16
−8
+8
+16
+24
+28

2 Cargas y potenciales

2.1 Mediante un circuito equivalente

La forma más sencilla de determinar las cargas y potenciales de cada conductor es sustituyendo el sistema por un circuito equivalente.

Archivo:circuito-equivalente-3esferas.png

En este circuito figuran tres condensadores:

Uno entre la esfera conectada a la fuente (conductor “1”) y la esfera exterior (conductor “2”). Este es un condensador esférico de capacidad

$C_{12} = \frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}=\frac{9\times 10^{-3}\times 18\times 10^{-3}}{9\times 10^{-9}\times 9\times 10^{-3}}\,\mathrm{F}=2\,\mathrm{pF}$

Otro entre la esfera a tierra (conductor “3”) y la esfera exterior. La capacidad de este condensador es la misma del que acabamos de calcular

$C_{23}=C_{12}=2\,\mathrm{pF}$

Un tercero entre la esfera exterior y el infinito. Este tiene por capacidad la de una esfera

$C_{20}=4\pi\varepsilon_0c = \frac{36\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=4\mathrm{pF}$

Con estas capacidades, las cargas de cada conductor se relacionan con los potenciales por las relaciones

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & C_{12}(V_1-V_2) = 2(V_1-V_2) \\ Q_2 & = & C_{12}(V_2-V_1) +C_{23}(V_2-V_3)+C_{20}V_2= 2(4V_2-V_1-V_3) \\ Q_3 & = & C_{23}(V_3-V_2) = 2(V_3-V_2) \end{array}$

donde medimos la capacidad en picofaradios, el voltaje en kilovoltios y la carga en nanoculombios.

Archivo:circuito-equivalente-3esferas-02.png

Sabemos que el conductor 1 está a 8kV, el 3 a tierra y el 2 está aislado y descargado

$V_1 = 8\,\mathrm{kV}\qquad \qquad Q_2=0\qquad\qquad V_3 = 0$

que al sustituirlo en las relaciones anteriores nos da

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & 2(8-V_2) \\ 0 & = & 2(4V_2-8) \\ Q_3 & = & -2V_2 \end{array}$

de donde obtenemos que

$V_2 = 2\,\mathrm{kV}\qquad\qquad Q_1 = 12\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -4\,\mathrm{nC}$

2.2 A partir de distribuciones de carga

3 Energía almacenada

Una vez que tenemos las cargas y potenciales, la energía es inmediata

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1 + \frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3 = \frac{1}{2}(12\,\mathrm{nC})(8\mathrm{kV})+0+0 = 48\,\mu\mathrm{J}$

4 Campo eléctrico

Para el campo eléctrico debemos considerar el campo producido por superficies esféricas cargadas uniformemente. Este campo es nulo en el interior de la esfera y como el de una carga puntual si estamos en el exterior de ella.

De los puntos propuestos, hay varios que se encuentran en el interior de los conductores. En ellos el campo es automáticamente nulo. Estos son:

x (mm)	$\left\|\vec{E}\|\right\|$
−16	0
−8
+8
+16	0
+24	0
+28

Los tres restantes se encuentran en el espacio entre una de las esferas pequeñas y la grande. En estas regiones el campo es igual al producido por una carga puntual equivalente a la carga de la esfera pequeña.

En x = -8mm estamos entre la esfera 1 y el conductor 2. El campo en esta región es el de una carga puntual de valor $Q 1$ situada en el centro de esta esfera. La distancia de este punto al centro de la esfera (situado en x = -18mm) es 10mm. Por tanto

$\left|\vec{E}\right|(x=-8\,\mathrm{mm}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2}=9\times 10^9\frac{12\times 10^{-9}}{(10^{-2})^2}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = 1.08\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}$

En x = +8mm la situación es idéntica salvo que la carga es la de la esfera 3, que tiene solo −4nC de carga. Por tanto, el campo es la tercera parte del anterior

$\left|\vec{E}\right|(x=+8\,\mathrm{mm}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_3}{r^2}=9\times 10^9\frac{4\times 10^{-9}}{(10^{-2})^2}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = 0.36\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}$

En x = +28mm tenemos el punto simétrico de éste. Al estar situado a la misma distancia del centro de la esfera 3, el campo tiene la misma intensidad

$\left|\vec{E}\right|(x=+28\,\mathrm{mm}) =\left|\vec{E}\right|(x=+8\,\mathrm{mm})= 0.36\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}$

Reuniendo todos los resultados en la tabla:

x (mm)	$\left\|\vec{E}\|\right\|$ MV/m
−16	0
−8	1.08
+8	0.36
+16	0
+24	0
+28	0.36

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2 Cargas y potenciales

2.1 Mediante un circuito equivalente

2.2 A partir de distribuciones de carga

3 Energía almacenada

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