No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

De Laplace

Revisión a fecha de 14:28 11 mar 2016; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular
3 Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación
4 Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación

1 Enunciado

En el plano vertical $\,OXY\,$ (gravedad: $\vec{g}=-g\,\vec{\jmath}\,$ ) se halla una partícula $P\,$ , de masa $\,m\,$ , ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $\,R\,$ y centro en $O\,$ . Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación $\,x=-R\,$ ) mediante un resorte elástico $\,QP\,$ de constante recuperadora $\,k=2mg/R\,$ y longitud natural $\,l_0=R.\,$ El extremo $\,Q\,$ se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte $\,QP\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OX.\,$

Se propone la coordenada acimutal $\,\theta\,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $\,P\,$ , así como la base polar $\,\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

Plantee la segunda ley de Newton para la partícula $P\,$ en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta(t).\,$ (b) La fuerza de reacción vincular $\,\vec{\Phi}(\theta,\dot{\theta})\,$ que ejerce el aro sobre la partícula.
Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula $\,P\,$ , exprésela como una función de $\,\theta\,$ y $\,\dot{\theta}\,$ , y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición $\,\theta=0.\,$
Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula $\,P\,$ , y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso $\,m\vec{g}\,$ y la fuerza elástica $\,\vec{F}_k\,$ ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza $\,\vec{\Phi}\,$ ejercida por el aro). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), $\vec{\Phi}\,$ es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base polar son las siguientes:

$\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,\vec{\jmath}=-mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{F}_k=-k\,\left(|\,\overrightarrow{QP}\,|-l_0\right)\,\vec{\imath}=-\displaystyle\frac{2\,mg}{R}\,[\,R+R\,\mathrm{cos}(\theta)-R\,]\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,]=-2\,mg\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por: $\,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}$

pero al particularizar para la trayectoria: $\,\,\rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,$ , queda: $\vec{a}=-\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+R\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

Planteamos la segunda ley de Newton: $m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}$ y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{\begin{array}{l} -mg\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,mg\,\mathrm{cos}^2(\theta)+\Phi=-\,m\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -mg\,\mathrm{cos}(\theta)+2\,mg\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{cos}(\theta)=m\,R\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right.$

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta(t)$ :

$\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,R\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta)\,]=0$

La fuerza de reacción vincular que ejerce el aro sobre la partícula se obtiene despejando $\Phi\,$ en la ecuación (1) y sustituyendo en la expresión vectorial de $\,\vec{\Phi}\,$ :

$\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-\,mR\,\dot{\theta}^{\, 2} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left\{mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-mR\,\dot{\theta}^{\, 2}\right\} \,\vec{u}_{\rho}$

3 Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación

La fuerza de reacción vincular $\vec{\Phi}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y esclerónomo). Así que todas las fuerzas que trabajan sobre la partícula (peso y elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y su energía potencial $U\,$ ). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos ha permitido deducir la integral primera del movimiento de la partícula que nos pedía este apartado: $E\,$ es una integral primera.

Abordemos ahora la expresión de la energía mecánica como una función de $\,\theta\,$ y $\,\dot{\theta}$ . La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:

$\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

pero al particularizar para la trayectoria: $\,\,\rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,$ , queda: $\vec{v}=R\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}m\,R^2\,\dot{\theta}^{\, 2}$

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es la suma de sus energías potenciales gravitatoria $U_g\,$ y elástica $U_k\,$ :

$U=U_g+U_k=mgy+\frac{1}{2}k\left(|\overrightarrow{QP}|-l_0\right)^{\, 2}=mgR\,\mathrm{sen}(\theta)+\frac{1}{2}\,\frac{2mg}{R}\,[R+R\,\mathrm{cos}(\theta)-R]^{\, 2}=mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]$

Nótese que las expresiones propuestas para $U_g\,$ y $U_k\,$ corresponden a tomar sus respectivos orígenes en $y=0\,$ y $|\overrightarrow{QP}|=l_0\,$ .

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,m\,R^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=\mathrm{cte}$

El valor constante de esta integral primera se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas $\theta(0)=0\,$ , $\,\dot{\theta}(0)=0$ :

$E(0,0)=mgR \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,m\,R^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=mgR$

Nótese que, desde el punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,\theta(t)$ :

$R\,\dot{\theta}^{\, 2}+2\,g\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)-1\,]=0$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo en el primer apartado a partir de la segunda ley de Newton.

4 Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación

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3 Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación

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