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No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el plano vertical \,OXY\, (gravedad: \vec{g}=-g\,\vec{\jmath}\,) se halla una partícula P\,, de masa \,m\,, ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio \,R\, y centro en O\,. Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación \,x=-R\,) mediante un resorte elástico \,QP\, de constante recuperadora \,k=2mg/R\, y longitud natural \,l_0=R.\, El extremo \,Q\, se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte \,QP\, permanece en todo instante paralelo al eje OX.\,

Se propone la coordenada acimutal \,\theta\, (definida en la figura) para describir la posición de la partícula \,P\,, así como la base polar \,\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\, para expresar las magnitudes vectoriales.

  1. Plantee la segunda ley de Newton para la partícula P\, en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \,\theta(t).\, (b) La fuerza de reacción vincular \,\vec{\Phi}(\theta,\dot{\theta})\, que ejerce el aro sobre la partícula.
  2. Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula \,P\,, exprésela como una función de \,\theta\, y \,\dot{\theta}\,, y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición \,\theta=0.\,
  3. Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula \,P\,, y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular

Sobre la partícula \,P\, actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso \,m\vec{g}\, y la fuerza elástica \,\vec{F}_k\, ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza \,\vec{\Phi}\, ejercida por el aro). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), \vec{\Phi}\, es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base polar son las siguientes:

\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,\vec{\jmath}=-mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{F}_k=-k\,\left(|\,\overrightarrow{QP}\,|-l_0\right)\,\vec{\imath}=-\displaystyle\frac{2\,mg}{R}\,[\,R+R\,\mathrm{cos}(\theta)-R\,]\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,]=-2\,mg\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:     \,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}

pero al particularizar para la trayectoria:      \,\,\rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,,     queda:     \vec{a}=-\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+R\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Planteamos la segunda ley de Newton:     m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}     y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

\left\{\begin{array}{l} -mg\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,mg\,\mathrm{cos}^2(\theta)+\Phi=-\,m\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ -mg\,\mathrm{cos}(\theta)+2\,mg\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{cos}(\theta)=m\,R\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \end{array}\right.

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \,\theta(t):

\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,R\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta)\,]=0

La fuerza de reacción vincular que ejerce el aro sobre la partícula se obtiene despejando \Phi\, en la ecuación (1) y sustituyendo en la expresión vectorial de \,\vec{\Phi}\,:

\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-\,mR\,\dot{\theta}^{\, 2} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left\{mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-mR\,\dot{\theta}^{\, 2}\right\} \,\vec{u}_{\rho}

3 Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación

4 Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Part%C3%ADcula_en_aro_(Ex.Sep/15)"

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