No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

De Laplace

Revisión a fecha de 06:37 1 ene 2006; Enrique (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular
3 Integral primera del movimiento
4 Posiciones de equilibrio y su clasificación

1 Enunciado

En el plano vertical $\,OXY\,$ (gravedad: $\vec{g}=-g\,\vec{\jmath}\,$ ) se halla una partícula $P\,$ , de masa $\,m\,$ , ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $\,R\,$ y centro en $O\,$ . Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación $\,x=-R\,$ ) mediante un resorte elástico $\,QP\,$ de constante recuperadora $\,k=2mg/R\,$ y longitud natural $\,l_0=R.\,$ El extremo $\,Q\,$ se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte $\,QP\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OX.\,$

Se propone la coordenada acimutal $\,\theta\,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $\,P\,$ , así como la base polar $\,\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

Plantee la segunda ley de Newton para la partícula $P\,$ en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta(t).\,$ (b) La fuerza de reacción vincular $\,\vec{\Phi}(\theta,\dot{\theta})\,$ que ejerce el aro sobre la partícula.
Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula $\,P\,$ , exprésela como una función de $\,\theta\,$ y $\,\dot{\theta}\,$ , y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición $\,\theta=0.\,$
Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula $\,P\,$ , y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.