No Boletín - Otro tiro parabólico (Ex.Sep/15)
De Laplace
1 Enunciado
Un proyectil se mueve en el plano vertical 
. Se conoce su aceleración constante (debida a su propio peso), y también su posición y su velocidad en el instante inicial (
):
![\vec{a}(t)=-g\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(0)=h\,\vec{k}\,\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+
\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,]](/wiki/images/math/d/e/9/de9c3ce06bffd9ab7a69070c76c7c6b8.png)
donde 
, 
y 
tienen valores positivos, y 
está comprendido en el intervalo 
- Determine el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial.
- Determine la celeridad del proyectil en el instante en el que su trayectoria corta al eje
2 Radio de curvatura en el instante inicial
El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:
Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores iniciales de velocidad y aceleración:
![\vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+
\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}(0)=-g\,\vec{k}](/wiki/images/math/c/7/0/c70d37c929961513dc146c824085b322.png)
se obtiene:
3 Celeridad del proyectil al cortar el eje OX
Las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea establecen que:
En el caso que nos ocupa, conocemos los valores iniciales de la posición 
y de la velocidad 
del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:
Determinar la velocidad y la posición del proyectil para 
se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:
![\begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \\ \\
\mathrm{d}\vec{r}=[\vec{v}(0)+\vec{a}\,t\,]\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}(0)\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t+\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\!t\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}(0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,\vec{a}\,t^2\end{array}](/wiki/images/math/5/6/d/56dbaf75daf1c76dbb64c9e7fc54f8c8.png)
Sustituyendo los valores dados de y , obtenemos:
![\vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)-g\,t\,\right]\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,t\,\vec{\imath}\,+\left[h+v_0\,\mathrm{sen}(\theta)\,t-\displaystyle\frac{1}{2}\,g\,t^2\right]\vec{k}](/wiki/images/math/8/1/3/813fcbdd733fcdd75a56aa2de513b799.png)
La trayectoria del proyectil cortará al eje OX en el instante 
en el que la coordenada 
del proyectil se anule:
![z(t^*)=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
h\,+\,v_0\,\mathrm{sen}(\theta)\,t^*\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}\,g\,(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
t^*=\displaystyle\frac{1}{g}\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)+\sqrt{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\,gh}\,\right]](/wiki/images/math/e/6/c/e6c2d4fcac5696e207f329eb34732515.png)
donde el valor de corresponde a la solución positiva de la ecuación de segundo grado obtenida.
La velocidad en dicho instante es:
![\vec{v}(t^*)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta)-g\,t^*\,\right]\vec{k}=v_0\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}\,-\,\sqrt{v_0^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\,gh}\,\,\vec{k}](/wiki/images/math/b/5/8/b589bdc5594b4dfdb45bdc39713d2baa.png)
Y tomando módulo, hallamos la celeridad del proyectil en el instante de interés:
