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No Boletín - Otro tiro parabólico (Ex.Sep/15)

De Laplace

1 Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical OXZ\,. Se conoce su aceleración constante (debida a su propio peso), y también su posición y su velocidad en el instante inicial (t=0\,):

\vec{a}(t)=-g\,\vec{k}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{r}(0)=h\,\vec{k}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,]

donde g\,, h\, y v_0\, tienen valores positivos, y \theta\, está comprendido en el intervalo 0<\theta<\pi/2.\,

  1. Determine el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial.
  2. Determine la celeridad del proyectil en el instante en el que su trayectoria corta al eje OX.\,

2 Radio de curvatura en el instante inicial

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante inicial puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

R_{\kappa}(0)=\frac{|\vec{v}(0)|^3}{|\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)|}

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores iniciales de velocidad y aceleración:

\vec{v}(0)=v_0\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+ \mathrm{sen}(\theta)\,\vec{k}\,]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}(0)=-g\,\vec{k}

se obtiene:

R_{\kappa}(0)=\frac{v_0^2}{g\,\mathrm{cos}(\theta)}

3 Celeridad del proyectil al cortar el eje OX

Al ser constante la aceleración del proyectil:

\vec{a}(t)=-g\,\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)}

su integración para obtener la velocidad del proyectil como función del tiempo es inmediata:

\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}t

e integrando esta velocidad, obtenemos la posición del proyectil como función del tiempo:

\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

\vec{r}_0 =\vec{0}

mientras que la velocidad inicial posee módulo v_0\, y forma un ángulo α con la horizontal

\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}

lo que nos da el vector de posición en cada instante

\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\,\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}


\sqrt{v_0^2+2gh}\,

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Otro_tiro_parab%C3%B3lico_(Ex.Sep/15)"

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