Campo eléctrico de un anillo y un disco

De Laplace

Revisión a fecha de 18:58 10 feb 2016; Anamaram (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Anillo
3 Disco

1 Enunciado

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio $R$ que almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente.

A partir del resultado anterior calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio $R$ , en el cual existe una carga $Q$ distribuida uniformemente.

2 Anillo

Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo

$\mathrm{d}\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}$

siendo $d A P$ la distancia entre el punto A donde se encuentra el elemento de carga y el punto P donde queremos hallar el campo. $\vec{u}_{AP}$ es el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por A y P y lleva el sentido de A a P.

En el caso del anillo con una carga uniformemente distribuida, dividimos el anillo en segmentos de longitud $d l$ , cada uno de los cuales tiene una carga

$\mathrm{d}q = \frac{Q}{L}\mathrm{d}l = \frac{Q}{2\pi R}\mathrm{d}l$

La distancia entre cada punto del anillo y un punto del eje es la misma para todos ellos. Por el teorema de Pitágoras

$d = \sqrt{R^2+z^2}$

siendo $z$ la altura del punto de observación sobre el anillo. Esta coordenada puede ser positiva o negativa.

El vector $\vec{u}$ , en cambio, depende del punto del anillo que crea el campo diferencial, de forma que tenemos

$\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(Q/L)\mathrm{d}l}{(R^2+z^2)}\vec{u}_{AP}$

Cuando sumamos las contribuciones de puntos opuestos del anillo, las componentes paralelas al plano del anillo se anulan mutuamente, como en el caso de dos cargas iguales. Las componentes en la dirección del eje se suman. Por ello, la resultante, el campo en el punto P, posee la dirección del eje Z. La contribución de cada elemento de carga en esta dirección es

$\mathrm{d}E_z = \left|\mathrm{d}\vec{E}\right|\cos(\theta)= \left|\mathrm{d}\vec{E}\right|\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{z(Q/L)\mathrm{d}l}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}$

y el campo total es

$E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{z(Q/L)\mathrm{d}l}{(R^2+z^2)^{3/2}}= \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}$

La integral es inmediata, ya que el integrando está constituido por cantidades que no dependen del punto del anillo y son por tanto constantes respecto a la integración. El cálculo se reduce entonces

$\int \mathrm{d}l = L=2\pi R\,$

que se cancela con el que aparece en el denominador.

En forma vectorial este campo se expresa

$\vec{E}=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}$

Si representamos la componente $E z$ del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente $E z$ es positiva para $z > 0$ y negativa para $z < 0$

3 Disco

Una vez que tenemos el campo de un anillo podemos hallar el de un disco considerándolo como compuesto de anillos concéntricos. Cada uno de estos anillos tiene una carga

$\mathrm{d}q = \sigma_s\,\mathrm{d}S = \frac{Q}{\pi R^2}(2\pi r')\,\mathrm{d}r'=\frac{2Q}{R^2}r'\,\mathrm{d}r'$

siendo $r'$ el radio de cada anillo y $d r'$ su espesor.

El campo que produce cada uno de estos anillos es, según el apartado anterior

$\mathrm{d}\vec{E}=\frac{\mathrm{d}q\,z}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}=\frac{(2Q/R^2)r'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}$

El campo total será la suma del de todos los anillos, cuyo radio varía desde 0 hasta $R$ , el radio del disco

$\vec{E}=\int_0^R \frac{(2Q/R^2)r'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}} = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi R^2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r'\mathrm{d}r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}$

Esta integral se resuelve con el cambio de variable $u = r' 2 + z 2$ y el resultado es

$\vec{E}(z) = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left.\frac{-1}{\sqrt{r'^2+z^2}}\right|_0^R=\frac{Q\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

A la hora de sustituir los límites de integración hay que tener cuidado con los signos, ya que la raíz cuadrada es siempre positiva (máxime, tratándose de una distancia), por lo que

$\sqrt{z^2}=|z| \neq z$

Este campo es, como en el caso del anillo, en la dirección del eje, con sentido hacia afuera (positivo para $z > 0$ y negativo para $z < 0$ ), pero no se anula en el centro. En el caso del anillo tenemos que se produce una discontinuidad de salto. Tenemos que