Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2014 (G.I.C.)
De Laplace
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1 Enunciado
Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de
ecuaciones implícitas y = A(1 − x2 / A2) y z = 0, donde A es una constante. La
coordenada x varía en el intervalo ![x\in[0,A]](/wiki/images/math/5/b/2/5b2bfc2aaf6f4df367b06d38ae81aa19.png)
.
- Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
- Suponiendo que en t = 0 la distancia recorrida es s = 0 encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
- ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en x = 0?
2 Solución
2.1 Vector tangente
Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada x
Calculamos el vector tangente usando la expresión
Derivando en la parametrización tenemos
El módulo de este vector es
Por tanto el vector tangente es
2.2 Distancia recorrida
La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es
La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir
2.3 Vector normal en x = 0
La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo A = 1. Vemos que en x = 0 el vector normal es
Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,
El resultado es
Evaluándolo en x = 0 obtenemos el resultado anterior.
