Barra sujeta por un cable
De Laplace
1 Enunciado
Una mesa plegable está articulada a la pared por un extremo, y cuelga de la pared por un cable tirante. En dos dimensiones esto se puede modelar como una barra de longitud b y masa m distribuida uniformemente. La barra está articulada por su extremo A y atada por su extremo B a una pared vertical, de forma que el cable forma un ángulo de 45° con la vertical.
![Archivo:barra-cable-tenso.png](/wiki/images/8/85/Barra-cable-tenso.png)
Calcule la tensión del cable, así como la fuerza de reacción en el punto A.
2 Solución
Para que la barra esté en equilibrio deben cumplirse las ecuaciones de la estática del sólido rígido. Deben anularse la resultande de las fuerzas aplicadas y de los momentos de estas fuerzas.
![\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}](/wiki/images/math/3/5/b/35b47397aee6101678d5b4e38273b17d.png)
Las fuerzas aplicadas son:
- El peso
aplicado en el centro de la barra.
![m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}](/wiki/images/math/1/6/0/160bfb1e98a250c7f42d93bf3abfe31c.png)
- La tensión del cable,
aplicada en el extremo B y en la dirección del cable. Por formar éste un ángulo de 45° sus dos componentes son iguales
![\vec{F}_{Bx}=-F_{Bx}\vec{\imath}+F_{Bx}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/4/c/7/4c760ce4a901fc076752272501c37145.png)
- La reacción en el punto A,
Puesto que la barra está articulada en el punto A, en este punto no se ejerce ningún momento de reacción.
Como centro de reducción O tomamos el propio punto A. De esta forma, nos ahorramos de calcular el momento de esta fuerza de reacción.
La condición de que se anule el momento resultante en A nos da
![\vec{0}=\vec{M}_A=\left(\frac{b}{2}\vec{\imath}\right)\times(-mg\vec{\jmath})+\left(b\vec{\imath}\right)\times(-F_{Bx}\vec{\imath}+F_{Bx}\vec{\jmath})=\left(-\frac{mgb}{2}+bF_{Bx}\right)\vec{k}](/wiki/images/math/9/3/1/93111385d5f523badee315284c08a76a.png)
Esto nos da la tensión
![F_{Bx} = \frac{mg}{2} \qquad\qquad \vec{F}_B=\frac{mg}{2}\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/3/5/9/359eada93584bf57a83cde0097da8ee8.png)
Una vez que tenemos esta fuerza, la de reacción en A es inmediata
![\vec{0}=\vec{F}_A+m\vec{g}+\vec{F}_B\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_A=-m\vec{g}-\vec{F}_B=\frac{mg}{2}\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/e/7/9/e795f7fa9d497fd577db60342818b711.png)
Vemos que la suma de las tres fuerzas es nula
![Archivo:barra-cable-tenso-02.png](/wiki/images/7/75/Barra-cable-tenso-02.png)
y que también lo es la suma de sus momentos. Esto se puede comprobar observando que las tres rectas soporte son concurrentes en un punto O. Si tomamos el momento respecto a dicho punto el resultados es nulo.
![Archivo:barra-cable-tenso-03.png](/wiki/images/4/47/Barra-cable-tenso-03.png)