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Análisis numérico de movimiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

t (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
x (m) −1.728 −0.440 0.560 1.296 1.792 2.072 2.160


t (s) 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0
x (m) 2.080 1.856 1.512 1.072 0.560 0.000 −0.584


t (s) 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0
x (m) −1.168 −1.728 −2.240 −2.680 −3.024 −3.248 −3.328

Para este movimiento, halle:

  1. El desplazamiento entre t = 0.0\,\mathrm{s} y t=20.0\,\mathrm{s}, así como el valor aproximado de la distancia recorrida en dicho intervalo.
  2. La velocidad media y la rapidez media en el intervalo anterior.
  3. La velocidad media en los intervalos (0.0s, 6.0s), (2.0s, 11.0s) y (6.0s, 15.0s).
  4. El valor aproximado de la velocidad en t= 12.0\,\mathrm{s}.
  5. El valor aproximado de la aceleración en t= 12.0\,\mathrm{s}.
  6. Sabiendo que este movimiento sigue una ley de la forma
x = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,
Calcule
  1. Los valores de las constantes Ak.
  2. El valor exacto de la distancia recorrida y la rapidez media.
  3. El valor exacto de la velocidad y de la aceleración en t = 12.0\,\mathrm{s}.

2 Desplazamiento en el intervalo completo

2.1 Desplazamiento

El desplazamiento lo calculamos como la diferencia entre la posición final y la inicial

\Delta x = x(20.0\,\mathrm{s})-x(0.0\,\mathrm{s})=-3.328\,\mathrm{m}-(-1.728\,\mathrm{m})= -1.600\,\mathrm{m}

Este desplazamiento corresponde gráficamente a la distancia vertical entre el punto inicial y el final.

Archivo:cubica-01.png

2.2 Distancia recorrida

Podemos hallar de forma aproximada la distancia recorrida sumando las diferencias entre posiciones, con valor absoluto.

\Delta s = \int_{x_0}^{x_n} |\mathrm{d}x|\simeq \sum_{i=1}^{n} |\Delta x_i|

Para ello, construimos una tabla de diferencias y sumamos (con ayuda de un ordenador).

[
[Archivo:cubica-02.png]]

Vemos que la distancia recorrida es de 9.376m.

Este procedimiento es general siempre que tengamos una tabla de valores. Sin embargo, para este caso podemos calcular la distancia recorrida por simple inspección. Vemos que la masa parte de un valor de x negativo va aumentando hasta un máximo y a partir de ahi retrocede hasta otro valor negativo. Podemos hallar la distancia total sumando lo que recorre en la ida con lo que recorre en la vuelta

\Delta s = \left|2.160\,\mathrm{m}-(-1.728\,\mathrm{m})\right| + \left|-3.328\,\mathrm{m}-2.160\,\mathrm{m}\right|=3.888\,\mathrm{m}+5.488\,\mathrm{m}

3 Velocidad y rapidez media

La velocidad media la calculamos como el despalzamiento dividido por el intervalo de tiempo

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-1.600\,\mathrm{m}}{20.0\mathrm{s}}=-0.080\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y la rapidez media se calcula de la misma forma pero con la distancia recorrida

|v|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{9.376\,\mathrm{m}}{20.0\mathrm{s}}=0.469\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Velocidades medias

5 Velocidad instantánea

6 Aceleración instantánea

7 Cálculos exactos

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico_de_movimiento"

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