Magnitudes en una máquina de Atwood

De Laplace

Revisión a fecha de 20:56 12 ago 2015; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Propiedades del sistema
3 Leyes de evolución

1 Enunciado

Considere una máquina de Atwood ideal formada por dos masas $m 1$ y $m 2$ que cuelgan de una polea (ideal, sin rozamiento ni masa) de radio $b$ a través de un hilo también ideal (inextensible y sin masa) de longitud $l$ ). Inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura.

Determine la masa total, la posición, velocidad y aceleración del centro de masas, la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética del sistema, todo ello como función del tiempo.
Para la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética determine sus derivadas respecto al tiempo y comprueba que se satisfacen las leyes para su evolución.

2 Propiedades del sistema

2.1 Masa

La masa del sistema es simplemente la suma de las masas de las dos pesas, al ser ideal el resto del sistema.

$M = m_1+m_2\,$

2.2 Propiedades del CM

2.2.1 Posición

Tomando como eje Z el vertical y hacia arriba, pero con $z = 0$ a la altura de la polea (es decir, que las coordenadas de ambas posiciones tendrán valores de z negativos), las posiciones de las dos masas son

$\vec{r}_1 = -b\vec{\imath}+z_1\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}_2 = +b\vec{\imath}+z_2\vec{k}$

A partir de aquí, la posición del centro de masas queda

$\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}\vec{k}$

Si suponemos que inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura y que son aceleradas por la diferencia de pesos, con aceleración

$a = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g$

tal como se ve en un problema, podemos escribir la posición vertical de cada una como

$z_1= z_0+\frac{1}{2}at^2\qquad\qquad z_2 = z_0-\frac{1}{2}at^2$

lo que da la posición del CM

$\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\left(z_0-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt^2\right)\vec{k}$

Vemos que el CM desciende aceleradamente, independientemente de cuál sea la masa más pesada.

2.2.2 Velocidad

Derivando en la posición anterior, resulta la velocidad del CM,

$\vec{v}_C = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\vec{k}=-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt\vec{k}$

2.2.3 Aceleración

Derivando de nuevo queda

$\vec{a}_c = -\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2g\vec{k}$

2.3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la velocidad del CM

$\vec{p}=M\vec{v}_C = =-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}gt\vec{k}$

2.4 Momento cinético

El momento cinético es la suma de los momentos cinétiocos individuales

$\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times \vec{v}_1 +m\vec{r}_2\times\vec{v}_2$

y resulta

$\vec{L}_O = \frac{(m_1+m_2)ab t}{2}\vec{\jmath}$

Sustituyendo aquí el valor de la aceleración

$\vec{L}_O = \frac{(m_2-m_1)bgt}{2}\vec{\jmath}$

2.5 Energía cinética

A partir de las velocidades individuales hallamos la energía cinética total

$K = \frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2|^2$

que da

$K = \frac{m_1+m_2}{2}a^2t^2 = \frac{(m_1-m_2)^2 g^2 t^2}{2(m_1+m_2)}$

2.6 Energía potencial gravitatoria

También puede hallarse la energía potencial debida al peso del sistema

$U = m_1gz_1+m_2gz_2 = (m_1+m_2)gz_c = (m_1+m_2)gz_0-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g^2t^2$

3 Leyes de evolución

3.1 Cantidad de movimiento

3.2 Momento cinético

3.3 Energía cinética

Magnitudes en una máquina de Atwood

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Contenido

1 Enunciado

2 Propiedades del sistema

2.1 Masa

2.2 Propiedades del CM

2.2.1 Posición

2.2.2 Velocidad

2.2.3 Aceleración

2.3 Cantidad de movimiento

2.4 Momento cinético

2.5 Energía cinética

2.6 Energía potencial gravitatoria

3 Leyes de evolución

3.1 Cantidad de movimiento

3.2 Momento cinético

3.3 Energía cinética

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