Preguntas de test de inducción electromagnética (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:12 14 jun 2015; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Corriente inducida en una espira
2 Comparación de bobinas
3 Espira en forma de escuadra
- 3.1 Pregunta 1
- 3.2 Pregunta 2
4 Flujo magnético variable
5 Inducción mutua entre dos espiras
- 5.1 Pregunta 1
- 5.2 Pregunta 2

1 Corriente inducida en una espira

Una espira circular de radio $b$ , resistencia $R$ y autoinducción despreciable, situada en el plano XY, se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo como un pulso gaussiano

$\vec{B}=B_0\mathrm{e}^{-(t/T)^2}\vec{k}$

¿Cuál de las siguientes cuatro figuras describe correctamente la corriente que circula por la espira, considerada en sentido antihorario alrededor del eje Z?

A	B


C	D

Solución

La respuesta correcta es la D.

De acuerdo con la ley de Faraday, la corriente inducida en la espira cumple

$I = -\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Puesto que en este caso el campo es uniforme, este flujo es igual al producto del campo por el área S del círculo, lo que nos deja con

$I = -\frac{S}{R}\,\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$

Es decir, no están preguntando por la derivada de B respecto al tiempo, cambiada de signo.

Por las propiedades de las derivadas, esto quiere decir que I será negativa cuando B crece y positiva cuando B decrece (de acuerdo con al ley de Lenz).

Por tanto, la respuesta correcta es la D.

2 Comparación de bobinas

¿Cuál de las siguientes bobinas tiene un mayor coeficiente de autoinducción?

A Una de 300 vueltas, 15 cm de longitud y 2 cm de diámetro.
B Una de 200 vueltas, 8 cm de longitud y 1 cm de diámetro.
C Una de 500 vueltas, 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro.
D Una de 400 vueltas, 20 cm de longitud y 1 cm de diámetro.

Solución

La respuesta correcta es la C.

El coeficiente de autoinducción de un solenoide largo viene dado por la expresión

$L=\frac{\mu_0N^2 \pi a^2}{h}$

En este caso, puesto que $μ 0$ y $π$ son los mismos para todos, se trata de comparar el cociente $N 2 a 2 / h$ , lo que da

A: 300²×2²/15 = 24000

B: 200²×1²/8 = 5000

C: 500²×2²/30 = 33333

D: 400²×1²/20 = 8000

En realidad, hemos hecho la comparación empleando el diámetro, en vez del radio, pero eso no afecta al resultado, ya que solo produce un factor 4, en todos los casos, que no importa a la hora de ver cuál es más grande.

3 Espira en forma de escuadra

Una espira en forma de escuadra con resistencia $R$ y autoinducción despreciable penetra en un campo magnético uniforme con una velocidad paralela a uno de sus catetos.

3.1 Pregunta 1

Si la velocidad de la espira es constante, ¿cómo es la corriente que se induce en ella mientras va entrando?

A Tiende exponencialmente a un valor constante
B Permanece constante.
C Aumenta linealmente con el tiempo.
D Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

Solución

La respuesta correcta es la C.

La corriente que circula por la espira se obtiene a partir de la fuerza electromotriz inducida

$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Puesto que el campo magnético es uniforme, el flujo magnético es proporcional al área del triángulo que está dentro del campo

$\Phi_m = \frac{B_0 x^2}{2} = \frac{B_0V^2 t^2}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{E}=-B_0v^2 t$

Por tanto la intensidad de corriente aumenta linealmente con el tiempo.

$I = -\frac{B_0v^2}{R}t$

siendo su sentido el horario (dado por el signo negativo).

3.2 Pregunta 2

¿Y la fuerza magnética sobre la espira?

A Permanece constante.
B Tiende exponencialmente a un valor constante
C Aumenta linealmente con el tiempo.
D Aumenta cuadráticamente con el tiempo.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Una espira que se encuentra parcialmente sumergida en un campo uniforme experimenta una fuerza

$\vec{F}=I(\vec{r}_f-\vec{r}_i)\times \vec{B}$

En este caso

$\vec{r}_f-\vec{r}_i=x\vec{\jmath}=vt\vec{\jmath}$

por lo que la fuerza magnética es igual a

$\vec{F}=-\frac{B_0v^2t}{R}(vt)B_0\vec{\imath}=-\frac{B_0^2v^2}{R}t^2\vec{\imath}$

Lo relevante para responder a la pregunta es que la intensidad de corriente aumenta linealmente con el tiempo y la distancia entre los puntos de entrada y salida también lo hace, por lo que su producto aumenta cuadráticamente con el tiempo.

4 Flujo magnético variable

La figura representa el flujo magnético a través de una espira de resistencia $R=100\,\Omega$ y autoinducción despreciable, como función del tiempo.

¿En cuál de los siguientes instantes es mayor, en valor absoluto, la corriente que circula por la espira?

A En $t = 8\,\mathrm{s}$
B En $t = 4\,\mathrm{s}$
C En $t = 10\,\mathrm{s}$
D En $t = 6\,\mathrm{s}$

Solución

La respuesta correcta es la D.

Puesto que la intensidad de corriente en la espira es igual a

$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

lo que se está pidiendo realmente es en qué instante es mayor la derivada, es decir, la pendiente de la gráfica, lo cual ocurre en t = 6s.

5 Inducción mutua entre dos espiras

Se colocan a una cierta distancia dos espiras iguales,de resistencia $R$ . Cuando por la inferior pasa una corriente $I 1$ , el flujo magnético a través de la superior es $M I 1$ .

Por la inferior se hace pasar la corriente

$I_1(t) = \begin{cases} 0 & |t| > T \\ \dfrac{I_0(T-|t|)}{T} & |t| < T\end{cases}$

5.1 Pregunta 1

¿Qué energía total se disipa en la espira inferior en $-\infty < t < \infty$ ?

A Es nula.
B $I 0 (T - | t | ) 2 R / T 2$ .
C $2I_0^2RT/3$
D $I 0 R 2 T$

Solución

La respuesta correcta es la C.

La energía total disipada en una resistencia la da la ley de Joule

$W_d=\int_{-\infty}^\infty I^2R\,\mathrm{d}t$

Esta integral es siempre positiva (salvo que la intensidad sea estrictamente nula), por lo que la respuesta A no puede ser correcta.

El resultado es una cierta cantidad, dependiente de los datos del sistema, pero no puede ser una función del tiempo (ya que integramos para todo $t$ ). Por tanto tampoco es correcta la B.

La ley de Joule para la potencia disipada es cuadrática en la intensidad de corriente, por lo que el resultado debe ser proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente máxima. Esto descarta la opción D y nos dice que la correcta es la C.

Veamos que efectivamente es así calculando la energía disipada.

El valor absoluto es la función definida a trozos

$|x|=\begin{cases}-x & x < 0 \\ x & x > 0\end{cases}$

lo que nos permite separar la intensidad de corriente en los tramos

$I_1(t) = \begin{cases} 0 & t < -T \\ \dfrac{I_0(T+t)}{T} & -T < t < 0 \\ & \\ \dfrac{I_0(T-t)}{T} & 0 < t < T\\ 0 & t > T\end{cases}$

Esta es una función par en forma de pulso triangular.

La energía total disipada será la suma de cuatro integrales, dos de ellas nulas. Queda

$W_d = \int_{-T}^0 \left(\dfrac{I_0(T+t)}{T}\right)^2R\,\mathrm{d}t+\int_{0}^T \left(\dfrac{I_0(T-t)}{T}\right)^2R\,\mathrm{d}t$

Al tratarse de una función par, las dos integrales tienen el mismo valor y

$W_d = 2\frac{I_0^2R}{T^2}\int_0^T(T-t)^2\mathrm{d}t = \frac{2I_0^2RT^3}{3T^2}=\frac{2}{3}I_0^2RT$

5.2 Pregunta 2

¿Cuánta energía se disipa en la espira superior en el mismo tiempo?

A $2I_0^2RT$
B Es nula.
C $2M^2I_0^2/(RT)$
D $2 M I 0 R 2 T$

Solución

La respuesta correcta es la C.

De manera análoga a la cuestión anterior, la respuesta B no es correcta ya que la energía disipada no es nula.

La D tampoco, pues la energía disipada debe ser proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente.

La corriente en la espira superior es inducida por la variación del flujo magnético, el cual va como $M I 1$ . Por tanto, la corriente inducida es proporcional al coeficiente de inducción mutua M y la energía disipada irá como el cuadrado de M.

Por tanto, la respuesta correcta es la C.

Veamos que efectivamente es así. El flujo a través de la espira superior es, en cada instante,

$\Phi_m = MI_1 = \begin{cases} 0 & t < -T \\ \dfrac{MI_0(T+t)}{T} & -T < t < 0 \\ & \\ \dfrac{MI_0(T-t)}{T} & 0 < t < T\\ 0 & t > T\end{cases}$

y la corriente inducida en ella

$I_2=-\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=\begin{cases} 0 & t < -T \\ -\dfrac{MI_0}{RT} & -T < t < 0 \\ & \\ \dfrac{MI_0}{RT} & 0 < t < T\\ 0 & t > T\end{cases}$

Cuando la corriente en la espira primaria aumenta linealmente se induce una corriente constante en la espira secundaria con un sentido dado por la ley de Lenz. Cuando disminuye, otra igual pero de sentido opuesto.

Puesto que la intensidad de corriente inducida, la energía total disipada es simplemente

$W_d = \int_{-\infty}^\infty I^2R\,\mathrm{d}t=\left(-\dfrac{MI_0)}{RT}\right)^2RT +\left(\dfrac{MI_0)}{RT}\right)^2RT = \frac{2M^2I_0^2}{RT}$

que es la opción $C$ .

Preguntas de test de inducción electromagnética (GIE)

De Laplace

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1 Corriente inducida en una espira

2 Comparación de bobinas

3 Espira en forma de escuadra

3.1 Pregunta 1

3.2 Pregunta 2

4 Flujo magnético variable

5 Inducción mutua entre dos espiras

5.1 Pregunta 1

5.2 Pregunta 2

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