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No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)

De Laplace

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo OXY\, (sólido "1"), está constituido por un disco de centro A\, y radio R\, (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje OX\,, y por otro disco de centro B\, y radio r\, (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje OY\,.

  1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
    \mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}
  2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación I_{21}\,\,?
    \mathrm{(a)}\,\,\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{21}\equiv H


2 Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje OX\, de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

I_{01}\equiv D

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto D\, se obtiene:

\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}

resultando verdadera la igualdad (c) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el disco "0". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

I_{20}\equiv C

Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto C\, se obtiene:

\vec{v}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}

resultando verdadera la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento \{21\}\,, se nos indica que el disco "2" mantiene siempre contacto puntual con el eje OY\, de la escuadra "1", lo cual nos permite saber que el centro B\, del disco "2" describe un movimiento rectilíneo paralelo al eje OY\, y, por tanto, la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\, es paralela a dicho eje:

\vec{v}^{\, B}_{21}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\parallel\vec{\jmath} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}

resultando verdadera la igualdad (a) de la primera pregunta.

Trazando la perpendicular a \vec{v}^{\, B}_{21}\, en el punto B\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{01}\, e I_{20}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{21}\, en la intersección de ambas rectas:

\left.\begin{array}{r} \vec{v}_{21}^{\, B}\perp\overrightarrow{I_{21}B} \\ \\ \{I_{21},\, I_{01},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{21}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, B} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, B \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{20}}\,\equiv\,G

Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (c) \,\,\,I_{21}\equiv G\,.

Y en cuanto a la primera pregunta del enunciado, habiéndose demostrado ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo resta comprobar que la igualdad falsa (y, por tanto, la que hay que marcar) es la igualdad (b). En efecto: al ser E\, el punto de contacto entre el disco "2" y el eje OY\, de la escuadra "1", la velocidad \vec{v}^{\, E}_{21}\, es precisamente la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos (nótese que sabemos que hay deslizamiento porque I_{21}\equiv G\, y, por tanto, I_{21}\not\equiv E\,). Pero recuérdese que la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto, ya que en caso contrario dejarían de estar en contacto puntual. Así que, podemos asegurar que:

\vec{v}^{\, E}_{21}\parallel OY\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\parallel\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\not\perp\vec{\jmath} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}\neq 0

resultando falsa, por tanto, la igualdad (b) de la primera pregunta (\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,).

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Dos_discos_II_(Ex.Ene/15)"

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