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No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)

De Laplace

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo OXY\, (sólido "1"), está constituido por un disco de centro A\, y radio R\, (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje OX\,, y por otro disco de centro B\, y radio r\, (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje OY\,.

  1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
    \mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}
  2. ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación I_{21}\,\,?
    \mathrm{(a)}\,\,\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{21}\equiv H


2 Solución

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje OX\, de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:

I_{01}\equiv D

El disco "2" rueda sin deslizar sobre el disco "0". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {20} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:

I_{20}\equiv C

En cuanto al movimiento \{21\}\,, se nos indica que el disco "2" mantiene siempre contacto puntual con el eje OY\, de la escuadra "1", lo cual nos permite saber que la velocidad de dicho punto de contacto (punto E\,) es necesariamente paralela al eje OY\, (ver figura adjunta). En efecto: recuérdese que la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto, ya que en caso contrario dejarían de estar en contacto. Trazando la perpendicular a \vec{v}^{\, E}_{21}\, en el punto E\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{01}\, e I_{20}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{21}\, en la intersección de ambas rectas:

\left.\begin{array}{r} \vec{v}_{21}^{\, E}\perp\overrightarrow{I_{21}E} \\ \\ \{I_{21},\, I_{01},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{21}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{21}^{\, E} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, E \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{20}}\,\equiv\,\overline{EB}\,\,\cap\,\,\,\overline{DC}\,\equiv\,G
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