No Boletín - Partícula motorizada en hélice (Ex.Ene/15)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:31 5 mar 2015; Enrique (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Ley horaria
3 Componentes tangenciales de la aceleración
4 Triedro intrínseco
5 Fuerza motora y su trabajo en una vuelta de hélice
6 Componente vertical del momento cinético respecto al origen de coordenadas

1 Enunciado

Una partícula $P\,$ , de masa $m\,$ , se encuentra ensartada sin rozamiento en la hélice $\Gamma\,$ de la figura. Esto permite que la posición de la partícula (respecto al triedro cartesiano $OXYZ\,$ ) pueda describirse mediante las ecuaciones $\theta\,$ -paramétricas de dicha hélice vincular:

$\overrightarrow{OP}=\vec{r}(\theta)=R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+h\theta\,\vec{k}$

donde $R\,$ y $h\,$ son constantes positivas conocidas.

Además de soportar la acción gravitatoria ( $m\vec{g}\,$ ) y la fuerza de reacción vincular ( $\vec{\Phi}\,$ ) ejercida por la hélice lisa, la partícula es empujada en sentido ascendente por una fuerza motora tangente al vínculo ( $\vec{F}_{\mathrm{mot}}=F_{\mathrm{mot}}\overrightarrow{T}\,$ ). Como resultado de todo ello, la partícula sube a lo largo de la hélice con celeridad constante $v_0\,$ , partiendo en el instante inicial ( $t=0\,$ ) desde la posición $\theta=0\,$ .

Halle la ley horaria $\theta(t)\,$ con la que la partícula $P\,$ recorre la hélice $\Gamma\,$ .
Calcule (en función de $\theta\,$ ) las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula $P\,$ , así como los vectores tangente unitario y normal principal del triedro intrínseco de su trayectoria.
Proyectando la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección tangente a la hélice, determine el módulo de la fuerza motora ( $F_{\mathrm{mot}}\,$ ) que actúa sobre la partícula $P\,$ . ¿Qué trabajo total realiza dicha fuerza motora entre el instante inicial y el instante en el que la partícula $P\,$ alcanza la posición $\theta=2\pi\,$ ?
Calcule la componente vertical del momento cinético de la partícula $P\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$ , y explique por qué dicha componente resulta independiente del tiempo.

2 Ley horaria

Se calcula el vector velocidad instantánea de la partícula derivando su vector de posición respecto al tiempo:

$\vec{v}\,=\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,=\,\dot{\theta}\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,=\,\dot{\theta}\,\left[-R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}+h\,\vec{k}\,\right]$

Igualando a $v_0\,$ el módulo de este vector (dado que sabemos que la partícula recorre la hélice con celeridad constante $v_0\,$ ), se deduce que $\dot{\theta}$ es constante:

$|\vec{v}\,|\,=\,\dot{\theta}\,\sqrt{R^2\,+\,h^2}\,=\,v_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \dot{\theta}=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{v_0}{\sqrt{R^2\,+\,h^2}}$

Separando variables e integrando entre $t=0\,$ y un instante genérico $t\,$ , obtenemos la ley horaria solicitada:

$\int^{\theta}_{0}\,d\theta=\,\int^{t}_{0} \displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{R^2\,+\,h^2}}\,dt\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \theta(t)=\,\displaystyle\frac{v_0\, t}{\sqrt{R^2\,+\,h^2}}$

3 Componentes tangenciales de la aceleración

Conocida la ley horaria, es posible expresar el vector velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo:

$\vec{v}(t)\,=\,\frac{v_0}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\left[-R\,\,\mathrm{sen}\left(\frac{v_0\,t}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\right)\vec{\imath}+R\,\,\mathrm{cos}\left(\frac{v_0\,t}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\right)\vec{\jmath}+h\,\vec{k}\,\right]$

Derivando respecto al tiempo, obtenemos el vector aceleración instantánea de la partícula:

$\vec{a}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{R\, v_0^2}{R^2\,+h^2}\left[-\mathrm{cos}\left(\frac{v_0\,t}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\right)\vec{\imath}-\mathrm{sen}\left(\frac{v_0\,t}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\right)\vec{\jmath}\,\right]$

Pero la partícula tiene celeridad constante, y por tanto la componente tangencial de su aceleración es nula:

$a_t\,=\,\dot{v}\,=\,0$

Esto implica que toda la aceleración de la partícula es aceleración normal:

$\overrightarrow{a_t}\,=\,\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{a_n}\,=\,\vec{a}$

Y entonces, la componente normal de la aceleración (que siempre es positiva y por eso se llama centrípeta) coincide con el módulo del vector aceleración instantánea:

$a_n\,=\,|\overrightarrow{a_n}|\,=\,|\vec{a}\,|\,=\,\frac{R\, v_0^2}{R^2\,+h^2}$

4 Triedro intrínseco

El vector tangente unitario se obtiene normalizando el vector velocidad instantánea:

$\overrightarrow{T}\,=\,\frac{\vec{v}}{|\vec{v}\,|}\,=\,\frac{\vec{v}}{v_0}\,=\,\frac{1}{\sqrt{R^2\,+h^2}} \,\left[-R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}+h\,\vec{k}\,\right]$

El vector normal principal se obtiene normalizando el vector aceleración normal (que en este caso coincide con el vector aceleración instantánea):

$\overrightarrow{N}\,=\,\frac{\overrightarrow{a_n}}{a_n}\,=\,\frac{\vec{a}}{|\vec{a}\,|}\,=\,-\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}$

Aunque el ejercicio no nos lo pide, es fácil obtener también el vector binormal:

$\overrightarrow{B}\,=\,\overrightarrow{T}\times\overrightarrow{N}\,=\, \frac{1}{\sqrt{R^2\,+h^2}} \,\left[h\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}-h\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}+R\,\vec{k}\,\right]$

5 Fuerza motora y su trabajo en una vuelta de hélice

Sobre la partícula actúan tres fuerzas: el peso ( $m\vec{g}\,$ ), la fuerza motora ( $\vec{F}_{\mathrm{mot}}\,$ ) y la fuerza de reacción vincular ( $\vec{\Phi}\,$ ). La segunda ley de Newton establece que:

$m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}\,+\,\vec{F}_{\mathrm{mot}}\,=\,m\,\vec{a}$

Proyectando esta ecuación sobre la dirección tangente a la hélice, es decir, multiplicándola escalarmente por el vector $\overrightarrow{T}\,$ , se obtiene:

$m\vec{g}\cdot\overrightarrow{T}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot\overrightarrow{T}}_{=0}\,+\,\underbrace{\vec{F}_{\mathrm{mot}}\cdot\overrightarrow{T}}_{=F_{\mathrm{mot}}}=\,\underbrace{m\,\vec{a}\cdot\,\overrightarrow{T}}_{=0}$

donde se ha tenido en cuenta que el vínculo es liso ( $\vec{\Phi}\,$ es ortogonal a la hélice y por tanto no tiene componente tangencial), que la fuerza motora es tangente al vínculo y de sentido ascendente (la componente tangencial de $\overrightarrow{F}_{\mathrm{mot}}\,$ coincide con su módulo $F_{\mathrm{mot}}\,$ ), y que el movimiento es uniforme (la partícula no tiene aceleración tangencial). Despejando el módulo de la fuerza motora, se llega a:

$F_{\mathrm{mot}}=-\,m\vec{g}\,\cdot\,\vec{T}\,=\,mg\,\vec{k}\,\cdot\,\vec{T}\, =\,\frac{mgh}{\sqrt{R^2\,+h^2}}$

El trabajo que realiza la fuerza motora en una vuelta de hélice se puede obtener aplicando el teorema de la energía cinética, el cual dice que el trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula coincide con la variación de su energía cinética. En el presente caso, como la partícula se mueve con celeridad constante, no habrá variación de su energía cinética y, por tanto, el trabajo neto de todas las fuerzas será nulo:

$W_{tot}\,=W_{mg}\,+W_{F_{mot}}\,+W_{\Phi}\,=\Delta K\,=0$

\noindent Despejando y teniendo en cuenta que la fuerza de reacción vincular no realiza trabajo por ser el vínculo liso y que el peso es un fuerza conservativa,

\[ \fbox{$W_{F_{mot}}$}\,=-\,W_{mg}\,=\Delta U\,=\,m g \biggl( z(\theta=2\pi)\,-\,z(\theta=0)\biggr)\,=\fbox{$2\,\pi\,m\,g\,h$} \]

\newpage

\noindent También se puede calcular directamente el trabajo realizado por la fuerza motora

\[ W_{F_{mot}}\,=\int^{^{2\pi}}_{0}\,\vec{F}_{\mbox{\footnotesize mot}}\,\cdot\,d\vec{r}\,=\int^{^{2\pi}}_{0}\,\vec{F}_{\mbox{\footnotesize mot}}\,\cdot\,\vec{v}\,dt\,=F_{\mbox{\footnotesize mot}}\,v_0\,\int^{^{t_f}}_{0}\,dt\,=F_{\mbox{\footnotesize mot}}\,v_0\,t_f \]

\noindent donde el valor de $t_f$ se obtiene a partir de la ley horaria, $\,\,t_f\,=\displaystyle\frac{2\pi\,\sqrt{R^2\,+h^2}}{v_0}$.

6 Componente vertical del momento cinético respecto al origen de coordenadas

No Boletín - Partícula motorizada en hélice (Ex.Ene/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Ley horaria

3 Componentes tangenciales de la aceleración

4 Triedro intrínseco

5 Fuerza motora y su trabajo en una vuelta de hélice

6 Componente vertical del momento cinético respecto al origen de coordenadas

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES