Vector superficie

De Laplace

Revisión a fecha de 17:30 24 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 caso de una curva plana
- 2.2 Caso de una curva alabeada

1 Enunciado

Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, $Γ$ , del plano $X Y$ , se cumple que

$\left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| = 2 S$

donde $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $S$ el área encerrada por $Γ$ .

A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

$\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times d\mathbf{r}= \mathbf{S}$

donde $\mathbf{S}$ es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

2 Solución

2.1 caso de una curva plana

Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano $X Y$ . En este plano

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_x+\mathrm{d}y\mathbf{u}_y$ $\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)\mathbf{u}_z$

El módulo de la integral es por tanto igual a

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|=\oint_\Gamma \left(-y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y\right)$

Esta integral puede escribirse como una circulación

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ $\mathbf{v}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y$

Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

siendo el rotacional

$\nabla\times\mathbf{v} = \left|\begin{matrix}\mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial z} \\ & & \\ -y & x & 0\end{matrix}\right| = 2\mathbf{u}_z$

y el diferencial de seuperficie, por estar ésta en el plano XY

$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathrm{d}S\,\mathbf{u}_z$

con lo que queda finalmente

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|= \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \int_S\left(2\mathbf{u}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\right) = 2\int_S \mathrm{d}S = 2S$

2.2 Caso de una curva alabeada

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 caso de una curva plana

2.2 Caso de una curva alabeada

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