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Algunas identidades vectoriales

De Laplace

1 Enunciado

Demuestre que si \mathbf{r} es el vector de posición y \mathbf{B} un campo vectorial arbitrario

  1. (\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}
  2. (\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0
  3. (\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}

Igualmente, para el caso particular en que \mathbf{B} represente un vector constante, demuestre que

  1. \nabla(\mathbf{B}{\cdot}\mathbf{r})=\mathbf{B}
  2. \nabla{\cdot}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=0
  3. \nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=2\mathbf{B}

2 Solución

2.1 (\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}

El operador escalar \mathbf{B}\cdot\nabla se expresa, en cartesianas, como

\mathbf{B}\cdot\nabla = B_x\frac{\partial\ }{\partial x}+B_y\frac{\partial\ }{\partial y}+B_z\frac{\partial\ }{\partial z}

Cuando este operador actúa sobre un campo vectorial, el resultado es la suma de nueve términos, ya que hay que “multiplicar” este operador vectorial por cada una de las componentes del campo vectorial sobre el que actúa:

\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}= \left(B_x\frac{\partial A_x}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_x}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\mathbf{u}_x+\left(B_x\frac{\partial A_y}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_y}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{u}_y+ \left(B_x\frac{\partial A_z}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_z}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\mathbf{u}_z

Cuando \mathbf{A}=\mathbf{r} esta expresión se simplifica notablemente, ya que

\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x + y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z

y queda

\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{r}= \left(B_x\overbrace{\frac{\partial x}{\partial x}}^{=1}+B_y\overbrace{\frac{\partial x}{\partial y}}^{=0}+B_z\overbrace{\frac{\partial x}{\partial z}}^{=0}\right)\mathbf{u}_x+\left(B_x\overbrace{\frac{\partial y}{\partial x}}^{=0}+B_y\overbrace{\frac{\partial y}{\partial y}}^{=1}+B_z\overbrace{\frac{\partial y}{\partial z}}^{=0}\right)\mathbf{u}_y+ \left(B_x\overbrace{\frac{\partial z}{\partial x}}^{=0}+B_y\overbrace{\frac{\partial z}{\partial y}}^{=0}+B_z\overbrace{\frac{\partial z}{\partial z}}^{=1}\right)\mathbf{u}_z=B_x\mathbf{u}_x+B_y\mathbf{u}_y+B_z\mathbf{u}_z=\mathbf{B}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Algunas_identidades_vectoriales"

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