Condensador esférico

De Laplace

Revisión a fecha de 11:00 17 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

2 Solución

En el hueco entre las dos esferas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi = 0$

con las condiciones de contorno

$\phi = V_1\,$ $(r=a)\,$ $\phi = V_2\,$ $(r=b)\,$

Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial $r$ . En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma

$\phi = A + \frac{B}{r}$

Quedan por determinar las constantes $A$ y $B$ . Sustituyendo las condiciones de contorno

$A + \frac{B}{a} = V_1$ $A + \frac{B}{b} = V_2$

resultan las constantes y el potencial

$A = \frac{V_2b-V_1a}{b-a}$ $B = \frac{(V_1-V_2)ab}{b-a}$

y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial

$\phi = \displaystyle\frac{V_2b-V_1a}{b-a}+\frac{(V_1-V_2)ab}{(b-a)r}\qquad (a < r < b)$

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