Dos esferas conductoras dentro de otra

De Laplace

Revisión a fecha de 17:55 27 jun 2014; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Potenciales antes de la conexión
3 Estado tras la conexión
4 Cambio en la energía almacenada
5 Potencia disipada

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres conductores esféricos. Uno de ellos (“2”) es una esfera de radio 54 mm con dos huecos esféricos, de radios 36 mm y 18 mm. En el centro de cada hueco se encuentran sendas esferas metálicas de radio 12 mm, siendo “1” la que está en el hueco grande y “3” la que está en el pequeño. Entre las esferas hay vacío y no hay más conductores ni cargas en el sistema.

Inicialmente la esfera “1” contiene una carga 120 nC mientras que los otros dos conductores están aislados y descargados.

Halle el potencial de cada conductor, así como la energía almacenada en el sistema.
Se conectan las dos esferas interiores mediante un hilo de resistencia 1 kΩ. Una vez que se ha vuelto a alcanzar el estado final, ¿cuáles son los nuevos potenciales de los conductores?
¿Cuál es la nueva energía almacenada? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
Halle la potencia instantánea disipada en el cable justo tras la conexión.

Tómese

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\simeq 9\times 10^9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{F}}$

2 Potenciales antes de la conexión

La forma más sencilla de resolver este problema es mediante la construcción de un circuito equivalente.

En este caso, tenemos tres condensadores:

Uno esférico entre la esfera 1 y la pared del hueco de 2, de capacidad

$C_a=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}=\frac{(12\times 10^{-3})(36\times 10^{-3})}{(9\times 10^9)(36-12)\times 10^{-3}}\mathrm{F}=2\,\mathrm{pF}$

Otro esférico entre la esfera 3 y la pared del hueco de 2, de capacidad

$C_b=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}=\frac{(12\times 10^{-3})(18\times 10^{-3})}{(9\times 10^9)(18-12)\times 10^{-3}}\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}$

Uno entre la superficie exterior del conductor 2 y el infinito, que se puede calcular a partir de la capacidad de un conductor esférico o de un condensador esférico con $b\to\infty$

$C_c=4\pi\varepsilon_0a =\frac{54\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\mathrm{F}=6\,\mathrm{pF}$

No hay más condensadores en el circuito equivalente. Aparte, habrá que colocar una resistencia entre los nodos 1 y 3, aunque en este primer apartado no es necesaria.

Inicialmente tenemos que el conductor 3 no está cargado, por lo que la carga del condensador $C b$ es nula y no hay diferencia de potencial entre sus placas, es decir

$V_2 = V_3\,$

En términos electromagnéticos, lo que ocurre es que por el teorema de Faraday, si no hay carga en el interior del hueco, no hay campo en ese hueco.

El conductor 1 sí está cargado, con 120 nC, por lo que

$Q_1=C_a(V_1-V_2)\qquad\Rightarrow\qquad 120 = 2(V_1-V_2)$

donde la carga se mide en nC, la capacidad en pF y el voltaje en kV.

El conductor 2 está descargado, por lo que

$0 = C_a(V_2-V_1) + C_b\overbrace{(V_2-V_3)}^{=0}+C_cV_2\qquad\Rightarrow\qquad 0=2(V_2-V_1)+6V_2\qquad \Rightarrow\qquad V_1=4V_2$

y llevando esto a la relación de arriba queda

$V_1 = 80\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2=V_3=20\,\mathrm{kV}$

Alternativamente, podemos ver que en este caso el sistema se reduce a solo dos condensadores puestos en serie (pues el b, es como si no estuviera), siendo la capacidad equivalente

$C_\mathrm{eq}=\frac{C_aC_c}{C_a+C_c}=\frac{2\times 6}{2+6}\mathrm{pF}=1.5\,\mathrm{pF}$

y conociendo la capacidad obtenemos el potencial del conductor 1

$V_1=\frac{Q_1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{120\,\mathrm{nC}}{1.5\,\mathrm{pF}}=80\,\mathrm{kV}$

y puesto que los dos conductores están en serie, la carga del condensador $C c$ , lo que nos da el potencial del conductor 2 (y del 3)

$V_2=\frac{120\,\mathrm{nC}}{6\,\mathrm{pF}}=20\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_3=V_2=20\,\mathrm{kV}$

Una vez que tenemos las cargas y potenciales de los tres conductores es inmediato el cálculo de la energía almacenada

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2+\frac{1}{2}\overbrace{Q_3}^{=0}V_3=\frac{1}{2}(120\,\mathrm{nC})(80\,\mathrm{kV})=4800\,\mu\mathrm{J}$

También podemos hallar esta energía sumando la almacenada en cada condensador

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_3-V_2)^2+\frac{1}{2}C_cV_2^2=\left(\frac{1}{2}2(80-20)^2+\frac{1}{2}4(20-20)^2+\frac{1}{2}6\times 20^2\right)\mu\mathrm{J}=4800\,\mu\mathrm{J}$

o directamente con la capacidad equivalente

$U_\mathrm{e}=\frac{Q_1^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{120^2}{2\times 1.5}\mu\mathrm{J}=4800\,\mu\mathrm{J}$

3 Estado tras la conexión

Cuando se cierra el interruptor, comienza a fluir una corriente desde el conductor a más potencial (el 1) al de menos (el 3), reduciéndose el voltaje del primero y aumentando el del segundo. El proceso cesa cuando se igualan los potenciales. En el nuevo estado de equilibrio

$V'_1=V'_3\,$

Esto quiere decir que, en el circuito, los condensadores $C a$ y $C b$ están en paralelo, siendo la capacidad equivalente a estos dos

$C_{ab}=C_a+C_b=6\,\mathrm{pF}$

4 Cambio en la energía almacenada

5 Potencia disipada

Dos esferas conductoras dentro de otra

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2 Potenciales antes de la conexión

3 Estado tras la conexión

4 Cambio en la energía almacenada

5 Potencia disipada

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