Energía electrostática de un sistema de conductores (F2 GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:46 27 mar 2014; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Descripción del sistema

Sea un sistema formado por

N

conductores ideales, $\mathrm{C}_1,\ldots,\mathrm{C}_i\ldots,\mathrm{C}_N$ , con carga eléctrica distribuidas en sus superficies: $\big\{Q|_{\partial\mathrm{C}_i}=Q_i\big\}_{i=1,\ldots,N}$

Dicha distribución de carga generá un campo eléctrico y, por consiguiente, un campo escalar de potencial electrostático $V(\mathbf{r})$ . Como se sabe, si el sistema se encuentra en equilibrio electrostático, todos los puntos de cada conductor se hallan al mismo potencial y, por tanto, las superficies condctoras son equipotenciales; es decir, dicho campo escalar va a ser tal que en los puntos de cada superficie $\partial\mathrm{C}_i$ tendrá el mismo valor $V i$ , medido respecto de cualquier otro conductor que se halle conectado “a tierra” (conductor $C 0$ ) y que, por tanto, consideramos a potencial cero:

$\forall, P^\prime \in \partial\mathrm{C}_i\mathrm{,}\;\, V(P^\prime)=V_i\quad \Longrightarrow \quad\big\{V|_{\partial\mathrm{C}_i}(\mathbf{r}^\prime)=V_i\big\}_{i=1,\ldots,N}$

2 Cálculo de la energía electrostática almacenada en el sistema

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes $\mathcal{F}$ , la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

$U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime$

donde $V(\mathbf{r})$ es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que ha sido necesario realizar para, mediante una serie de procesos cuasi--estáticos, configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

La región $\mathcal{F}$ no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. En el caso del sistema bajo estudio, formado por conductores cargados, dicha región de fuentes está constituida por las superficies de los $N$ conductores. En consecuencia, integral extendida a la región $\mathcal{F}$ es equivalente a la suma de las $N$ integrales correspondientes a las distintas superficies conductoras:

$\mathcal{F}=\partial\mathrm{C}_1\cup\ldots\cup\partial\mathrm{C}_N\quad\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^N\int_{\partial C_i}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime$

Para calcular cada uno de los sumando de la anterior expresión tenemos en cuenta que la supercifie de cada condcutor es equipotencial por lo que, al evaluar el potencial $V(\mathbf{r}^\prime)$ en todos los puntos de la superficie $\partial\mathrm{C}_i$ , siempre se obtiene idéntico valor $V i$ . Por otra parte, la suma de todas las cargas infinitesimales $\mathrm{d}q^\prime$ distribuidas de forma continua sobre dicha superficie, es igual a la cantidad total de carga total $Q i$ almacenada en ella. Se tendrá, por tanto:

$\left.\begin{array}{l} V(\mathbf{r}^\prime)\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=V_i\\ \\ \displaystyle Q\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=\int_{\partial \mathrm{C}_i}\! \mathrm{d}q^\prime=Q_1\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \int_{\partial C_i}\!\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime=V_i \int_{\partial \mathrm{C}_i}\! \mathrm{d}q^\prime=V_i\!\ Q_i$

ba

Si las esferas conductoras del sistema analizado se cargan con sendas cantidades $Q 1$ y $Q 2$ de carga eléctrica, por ejemplo conectándolas a generadores que establezcan valores constantes del potencial en todos sus puntos, dichas cargas se distribuirán en el equilibrio exclusivamente en sus superficies $\partial\tau_1$ y $\partial\tau_2$ , según determinadas densidades superficiales, $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_1}$ y $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_2}$ :

$U_e=\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_1}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_2}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S$

Por otra parte, cada una de las superficies conductoras es una superficie equipotencial en la que el potencial electrostático tiene idéntico valor en todos sus puntos. Por tanto, se tendrá:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_1}=V_1\\ \\ \displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_2}=V_2\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\left(V_1\int_{\partial\tau_1}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +V_2\int_{\partial\tau_2}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\right)=\frac{1}{2}\big(Q_1V_1+Q_2V_2\big)$

Por tanto, para calcular las cantidades de energía electrostática requeridos en el ejercicio, basta con determinar los valores de las cargas y los potenciales de las esferas conductoras en las dos situaciones indicadas.

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