Energía electrostática de un sistema de conductores (F2 GIA)

De Laplace

1 Descripción del sistema

Sea un sistema formado por N conductores ideales, , con carga eléctrica distribuidas en sus superficies:

Dicha distribución de carga generá un campo eléctrico y, por consiguiente, un campo escalar de potencial electrostático . Como se sabe, si el sistema se encuentra en equilibrio electrostático, todos los puntos de cada conductor se hallan al mismo potencial y, por tanto, las superficies condctoras son equipotenciales; es decir, dicho campo escalar va a ser tal que en los puntos de cada superficie tendrá el mismo valor V_i, medido respecto de cualquier otro conductor que se halle conectado “a tierra” (conductor C₀) y que, por tanto, consideramos a potencial cero:

2 Cálculo de la energía electrostática almacenada en el sistema

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes , la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

donde es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que ha sido necesario realizar para, mediante una serie de procesos cuasi--estáticos, configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

La región no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. En el caso del sistema bajo estudio, formado por conductores cargados, dicha región de fuentes está constituida por las superficies de los N conductores. En consecuencia, integral extendida a la región es equivalente a la suma de las N integrales correspondientes a las distintas superficies conductoras:

=\particl\mathrm{C}_1\bigcup\ldots\bigcup\partial\mathrm{C}_N\quad\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^N\int_{\partial C_i}\!V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime</math>

ba

Si las esferas conductoras del sistema analizado se cargan con sendas cantidades Q₁ y Q₂ de carga eléctrica, por ejemplo conectándolas a generadores que establezcan valores constantes del potencial en todos sus puntos, dichas cargas se distribuirán en el equilibrio exclusivamente en sus superficies y , según determinadas densidades superficiales, y :

Por otra parte, cada una de las superficies conductoras es una superficie equipotencial en la que el potencial electrostático tiene idéntico valor en todos sus puntos. Por tanto, se tendrá:

Por tanto, para calcular las cantidades de energía electrostática requeridos en el ejercicio, basta con determinar los valores de las cargas y los potenciales de las esferas conductoras en las dos situaciones indicadas.