Energía electrostática de un sistema de conductores (F2 GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:19 27 mar 2014; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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1 Descripción del sistema

Sea un sistema formado por

N

conductores ideales, $\mathrm{C}_1,\ldots,\mathrm{C}_i\ldots,\mathrm{C}_N$ , con carga eléctrica distribuidas en sus superficies: $\bigg\{Q|_{\partial\mathrm{C}_i}=Q_i\bigg\}_{i=1,\ldots,N}$

Dicha distribución de carga generá un campo eléctrico y, por consiguiente, un campo escalar de potencial electrostático $V(\mathbf{r})$ . Como se sabe, si el sistema se encuentra en equilibrio electrostático, todos los puntos de cada conductor se hallan al mismo potencial y, por tanto, las superficies condctoras son equipotenciales; es decir, dicho campo escalar va a ser tal que en los puntos de cada superficie $\partial\mathrm{C}_i$ tendrá el mismo valor $V i$ , medido respecto de cualquier otro conductor que se halle conectado “a tierra” (conductor $C 0$ ) y que, por tanto, consideramos a potencial cero:

$\forall, P^\prime \in \partial\mathrm{C}_i\mathrm{,}\;\, V(P^\prime)=V_i\quad \Longrightarrow \quad\left\{V|_{\partial\mathrm{C}_i}=V_i\right\}_{i=1,\ldots,N}$

2 Cálculo de la energía electrostática almacenada en el sistema

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes $\mathcal{F}$ , la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

$U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V\!\ \mathrm{d}q$

donde $V (r)$ es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que ha sido necesario realizar para configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

Obsérvese que la región $\mathcal{F}$ no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. Si las esferas conductoras del sistema analizado se cargan con sendas cantidades $Q 1$ y $Q 2$ de carga eléctrica, por ejemplo conectándolas a generadores que establezcan valores constantes del potencial en todos sus puntos, dichas cargas se distribuirán en el equilibrio exclusivamente en sus superficies $\partial\tau_1$ y $\partial\tau_2$ , según determinadas densidades superficiales, $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_1}$ y $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_2}$ :

$U_e=\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_1}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_2}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S$

Por otra parte, cada una de las superficies conductoras es una superficie equipotencial en la que el potencial electrostático tiene idéntico valor en todos sus puntos. Por tanto, se tendrá:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_1}=V_1\\ \\ \displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_2}=V_2\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\left(V_1\int_{\partial\tau_1}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +V_2\int_{\partial\tau_2}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\right)=\frac{1}{2}\big(Q_1V_1+Q_2V_2\big)$

Por tanto, para calcular las cantidades de energía electrostática requeridos en el ejercicio, basta con determinar los valores de las cargas y los potenciales de las esferas conductoras en las dos situaciones indicadas.

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