No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)

De Laplace

Revisión a fecha de 19:07 24 mar 2014; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El disco móvil de centro $A\,$ y radio $R\,$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro $O\,$ y radio $2R\,$ (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante $\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,$ (ver figura).

¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación $I_{20}\,$ e $I_{21}\,$ ?
Determine la velocidad instantánea $\vec{v}^{B}_{21}\,$
Determine la velocidad angular $\vec{\omega}_{20}\,$

2 Solución

2.1 Centros instantáneos de rotación

El centro instantáneo de rotación (CIR) de un movimiento plano (que no sea reposo) es el único punto del plano director cuya velocidad instantánea es nula.

En este caso, el punto de la varilla "0" que tiene velocidad nula respecto al disco "1" es el punto en el que ambos sólidos están articulados, por lo que

$I_{01}\equiv O\,$

Análogamente, el punto del disco "2" que tiene velocidad nula respecto a la varilla "0" es el punto en el que ambos se articulan, por lo que

$I_{20}\equiv A\,$

Por último, la condición de rodadura sin deslizamiento implica que en el punto de contacto de los dos discos la velocidad relativa es nula

$\vec{v}^C_{21}=\vec{0}$

por lo que este punto es el CIR del movimiento {21}

$I_{21}\equiv C\,$

2.2 Velocidad instantánea de B

De acuerdo con la ecuación del campo de velocidades

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}$

Si esta misma ecuación la aplicamos al punto C, cuya velocidad en el movimiento absoluto sabemos que es nula

$\vec{0}=\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}$

pero C es el punto diametralmente opuesto a B

$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$

lo que nos da

$\vec{0}=\vec{v}^A_{21}-\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{21}$

que llevado a la ecuación para la velocidad de B nos da

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=2\vec{v}^A_{21}$

Necesitamos hallar la velocidad del centro del disco 2. Aplicando la ley de composición de velocidades

$\vec{v}^A_{21}=\overbrace{\vec{v}^A_{20}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}$

De aquí

$\vec{v}^B_{21}=2\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\left(2\Omega\vec{k}\right)\times\left((2R+R)\vec{\imath}_0\right)=6\Omega R\vec{\jmath}_0$

2.3 Velocidad angular

La velocidad angular del movimiento {20} la podemos obtener recurriendo de nuevo a que los discos ruedan sin deslizar y por tanto el punto C es el CIR del movimiento {20}. Por la ley de composición de velocidades