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No Boletín - Identificación de movimiento III (Ex.Oct/13)

De Laplace

1 Enunciado

En el triedro cartesiano OXYZ\,, una partícula P\, se mueve conforme a la ecuación horaria:

\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=A\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\mathrm{cos}(\omega t) \,\vec{\jmath}+A\,\mathrm{cos}^2(\omega t)\,\vec{k}

donde A\, y \omega\, son constantes conocidas.

  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. ¿Con qué tipo de movimiento es recorrida dicha trayectoria?

2 Solución

Esta cuestión se resuelve rápidamente si se conocen las relaciones trigonométricas:

\mathrm{sen}(\omega t)\,\mathrm{cos}(\omega t)=\frac{\mathrm{sen}(2\omega t)}{2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{cos}^2(\omega t)=\frac{1+\mathrm{cos}(2\omega t)}{2}

las cuales permiten reescribir la ecuación horaria como:

\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=\frac{A}{2}\,\vec{k}+\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{\jmath}+\frac{A}{2}\,\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{k}

Y esta ecuación horaria es reconocible como la que corresponde al movimiento sobre una circunferencia con centro en el punto C(0,0,A/2)\, y radio A/2\, de ecuación vectorial \theta\,-paramétrica:

\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)=\frac{A}{2}\,\vec{k}+\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{A}{2}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{k}

siendo \theta\, el ángulo formado por el vector de posición de la partícula \overrightarrow{OP}\, y el eje OZ\,), y que varía conforme a la ley horaria:

θ(t) = 2ωt

la trayectoria es, por tanto, una circunferencia; y el tipo de movimiento con que se recorre la misma es un movimiento uniforme, ya que la celeridad es constante en el tiempo:

\dot{\theta}=2\omega=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, v=\frac{A}{2}\dot{\theta}=A\omega=\mathrm{cte}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Identificaci%C3%B3n_de_movimiento_III_(Ex.Oct/13)"

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