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No Boletín - Rectilíneo con aceleración creciente (Ex.Oct/13)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

\vec{a}(t)=3C t^2\,\vec{\jmath}

siendo C\, una constante de valor igual a 1\,\mathrm{m/s}^4\,. ¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante t=2\,\mathrm{s}\,?

2 Solución

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

\vec{r}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m/s}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para t>0\, se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

\begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}=3\,C t^2\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=3\,C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=Ct^3\,\vec{\jmath} \\ \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=Ct^3\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}=Ct^3\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^3\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\displaystyle\frac{Ct^4}{4}\,\vec{\jmath}\end{array}

En el instante t=2\,\mathrm{s}\,, la posición de la partícula es por tanto:

\vec{r}=\displaystyle\frac{(1\,\,\mathrm{m/s}^4)(16\,\,\mathrm{s}^4)}{4}\,\vec{\jmath}=4\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m}

y su distancia al origen en dicho instante es:

d(O,P)=|\vec{r}\,|=|4\,\vec{\jmath}\,|\,\,\mathrm{m}=4\,\,\mathrm{m}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Rectil%C3%ADneo_con_aceleraci%C3%B3n_creciente_(Ex.Oct/13)"

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