No Boletín - Rectilíneo con aceleración creciente (Ex.Oct/13)

De Laplace

Revisión a fecha de 13:27 19 mar 2014; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

$\vec{a}(t)=3C t^2\,\vec{\jmath}$

siendo $C\,$ una constante de valor igual a $1\,\mathrm{m/s}^4\,$ . ¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante $t=2\,\mathrm{s}\,$ ?

2 Solución

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)$

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

$\vec{r}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m/s}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

$\begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}=3\,C t^2\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=3\,C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=Ct^3\,\vec{\jmath} \\ \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=Ct^3\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}=Ct^3\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^3\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\displaystyle\frac{Ct^4}{4}\,\vec{\jmath}\end{array}$

En el instante $t=2\,\,\mathrm{s}\,$ , la posición de la partícula es por tanto: