Dos esferas conductoras conectadas

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios R₁ y R₂ (R₁ < R₂), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q.

1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?

2 Solución

2.1 Carga en cada esfera

2.1.1 Cálculo directo

Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra.

El potencial en cada una de las esferas será, en función de su carga

        

Si las dos esferas están al mismo potencial nos queda

      

lo que nos dice que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga).

Como además la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones

        

con solución

    

El potencial en el conjunto es

2.1.2 Empleando un circuito equivalente

La carga en cada esfera también es fácil de calcular empleando un circuito equivalente. Tal como se demuestra en otro problema, cada esfera forma con el infinito un condensador de capacidad

2.2 Densidad de carga y campo