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Partícula en el extremo de barras articuladas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras ideales de la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω en sentido antihorario respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω en sentido horario. En el instante t = 0 el sistema está plegado de forma que el extremo B coincide con el origen de coordenadas.

  1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.

Para el instante t = 0 halle

  1. La velocidad y la rapidez.
  2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
  3. El radio y el centro de curvatura.

Para el instante t = π/(2Ω) calcule

  1. La velocidad y la rapidez.
  2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

2 Posición

El vector de posición es suma de otros dos

\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}

siendo

\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{AB}=-h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

lo que da

\vec{r}(t)=\overrightarrow{OB}=h\left(\cos(\Omega t)-\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

Como es sabido, una vez que tenemos la ecuación horaria, el cálculo del resto es sistemático, a base de derivar y realizar operaciones vectoriales.

3 Velocidad y rapidez en t = 0

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=h\Omega\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)+2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

que en t = 0 vale

\vec{v}(0) = h\Omega\left((0-0)\vec{\imath}+(1+2)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega\vec{\jmath}

La rapidez es el módulo de este vector

|\vec{v}(0)|=3h\Omega

4 Aceleración en t = 0

La aceleración la hallamos calculando la derivada de la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=h\Omega^2\left(-\cos(\Omega t)+4\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

que en t = 0 vale

\vec{a}(0)=h\Omega^2\left((-1+4)\vec{\imath}+(-0-0)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega^2\vec{\imath}

Esta aceleración es puramente perpendicular a la velocidad. Por tanto, la aceleración tangencial es nula

a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=0

y toda la aceleración es normal

\vec{a}_n=\vec{a}=3h\Omega^2\vec{\imath}

siendo la aceleración normal escalar el módulo de este vector

a_n = 3h\Omega^2\,

5 Radio y centro de curvatura en t = 0

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{(3h\Omega)^2}{3h\Omega^2}=3h

El centro de curvatura se calcula como

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}

siendo el vector normal el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\vec{\imath}

Como la posición inicial es el origen de coordenadas esto da el centro de curvatura

\vec{r}_c=3h\vec{\imath}

6 Velocidad y rapidez en t = π/(2Ω)

Para el segundo instante, simplemente volvemos a sustituir. Cuando t = π / (2Ω) se cumple \Omega t = \pi/2 = 90^\circ, lo que simplifica mucho los cálculos. Simplemente recordando que

\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad\cos\left(\pi\right)=-1\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad\mathrm{sen}\left(\pi\right)=0

queda la nueva velocidad

\vec{v}(\pi/(2\Omega))=h\Omega\left(\left(-1+2\cdot 0\right)\vec{\imath}+\left(0+2(-1)\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega\left(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)

siendo la rapidez

|\vec{v}|=h\Omega\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}h\Omega

7 Aceleración en t = π/(2Ω)

La aceleración en este instante es, usando los mismos valores de las funciones trigonométricas

\vec{a}(\pi/(2\Omega))=h\Omega^2\left(\left(-0+4(-1)\right)\vec{\imath}+\left(-1-4\cdot 0\right)\vec{\jmath}\right)=-h\Omega^2\left(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)
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