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Oscilador armónico tridimensional

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico

\vec{a}=-\omega^2\vec{r}

con \omega = 2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}. Su posición inicial es \vec{r}_0=5\,\vec{\imath}\ (\mathrm{m}).

  1. Para el caso \vec{v}_0=\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  2. Para el caso \vec{v}_0=10.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  3. Suponga ahora que \vec{v}_0=8.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula?
  4. Para los tres casos anteriores, determine
  1. la rapidez,
  2. las componentes intrínsecas de la aceleración,
  3. los vectores tangente y normal,
  4. el radio de curvatura y el centro de curvatura.
para los instantes t=0\,, t=0.25\pi\,\mathrm{s} y t = 0.125\pi\,\mathrm{s}.

2 Solución general

La solución general de la ecuación del oscilador armónico en 3D es de la forma

\vec{r}(t) = \vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}\mathrm{sen}(\omega t)

siendo \vec{r}_0 la posición inicial y \vec{v}_0 la velocidad inicial de la partícula.

En este problema tenemos para todos los casos, empleando las unidades fundamentales del SI,

\omega = 2\qquad\qquad\vec{r}_0=5\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}

que al sustituir en la solución general nos dan la ecuación horaria

\vec{r}=5\cos(2t)\vec{\imath}+\frac{v_0}{2}\mathrm{sen}(2t)\vec{\jmath}

A partir de esta ecuación horaria pueden hallarse todas las características del movimiento.

3 Caso v0 = 0 m/s

El primer caso tiene velocidad inicial nula, lo que reduce la ecuación horaria a

\vec{r}=5\cos(\omega t)\vec{\imath}

Esta es la ecuación de movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por cumplir la ecuación del oscilador armónico y ser rectilíneo, el movimiento es armónico simple.

4 Caso v0 = 10 m/s

En el segundo caso, la ecuación horario se reduce a

\vec{r}=5\cos(\omega t)\vec{\imath}+5\,\mathrm{sen}(2 t)\vec{\jmath}

Este no es un movimiento rectilíneo. Sí es plano, porque tiene solo dos componentes, y verifica en todo momento que

|\vec{r}|^2 = x^2 + y^2 = 5^2=\mathrm{cte}

Por tanto se trata de un movimiento circular de radio 5 m alrededor del origen.

Además, podemos hallar la velocidad y rapidez del movimiento

\vec{v}=-10º,\mathrm{sen}(2t)\vec{\imath}+10\cos(2t)\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Al ser la rapidez constante el movimiento es circular uniforme.

5 Caso v0 = 8 m/s

El tercer caso tiene la ecuación horaria

\vec{r}=5\cos(\omega t)\vec{\imath}+5\,\mathrm{sen}(2 t)\vec{\jmath}

Esta trayectoria no es ni rectilínea ni circular. Si separamos en componentes nos queda

x = 5\cos(2t)\qquad\qquad y = 4\,\mathrm{sen}(2 t)\qquad\qquad z=0

Podemos eliminar el tiempo de las dos primeras ecuaciones y combinarlas como

\left(\frac{x}{5}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1\qquad\qquad z=0

que es la ecuación de una elipse de semiejes 5m y 4m

v0 = 0 v0 = 10 v0 = 8
Archivo:OC3D-0.gif Archivo:OC3D-5.gif Archivo:OC3D-4.gif

6 Cálculo de magnitudes

6.1 Rapidez

Para cualquier movimiento, la velocidad la da la derivada del vector de posición respecto al tiempo

\vec{v}=-10\,\mathrm{sen}(2t)\vec{\imath}+v_0\cos(2t)\vec{\jmath}

Podemos comprobar que, como corresponde, la velocidad en t=0 coincide con la velocidad inicial.

La rapidez es el módulo de esta velocidad

|\vec{v}| = \sqrt{10^2\mathrm{sen}^2(2t)+ v_0^2\cos^2(2t)}=\sqrt{100-(100-v_0^2)\cos^2(2 t)}
  • En el caso particular v0 = 0 esta expresión se reduce a
|\vec{v}|=10|\mathrm{sen}(2t)|
que es una función oscilante, pero no sinusoidal, sino que va como el valor absoluto de un seno.
  • Si v0 = 10, la rapidez vale
|\vec{v}| = 10
que es constante, lo que indica que en este caso el movimiento es uniforme.
  • En el caso v0 = 8 resulta una función oscilante
|\vec{v}| = \sqrt{100\mathrm{sen}^2(2t)+ 64\cos^2(2t)}=\sqrt{100-36\cos^2(2 t)}
Esta función varía desde 8m/s en el instante inicial (que es su rapidez mínima) a 10/m/s cuando el coseno se anula.
Archivo:comparacion-rapidez.png

En concreto, para los tres instantes del enunciado tenemos la siguiente tabla de valores

t=0 t=π/4 t=π/8
v0 = 0 0.00 7.07 10.0
v0 = 10 10.0 10.0 10.0
v0 = 8 8.00 9.06 10.0

6.2 Componentes de la aceleración

Para hallar las componentes intrínsecas, en lugar de operar con expresiones dependientes del tiempo, vamos a calcular en primer lugar las velocidades y aceleraciones para los casos indicados y posteriormente calcularemos las componentes a partir de las proyecciones de los vectores.

Para la velocidad tenemos

\vec{v}=-10\,\mathrm{sen}(2t)\vec{\imath}+v_0\cos(2t)\vec{\jmath}

y para las aceleraciones

\vec{a}=-20\,\mathrm{cos}(2t)\vec{\imath}-2v_0\mathrm{sen}(2t)\vec{\jmath}
  • En el caso v0 = 0 queda
t=0 t=π/4 t=π/8
v(m/s) \vec{0} -7.07\vec{\imath} -10\vec{\imath}
a(m/s²) -20\vec{\imath} -14.1\vec{\imath} \vec{0}
  • En el caso v0 = 10
t=0 t=π/4 t=π/8
v(m/s) 10\vec{\jmath} -7.07\vec{\imath}+7.07\vec{\jmath} -10\vec{\imath}
a(m/s²) -20\vec{\imath} -14.1\vec{\imath}-14.1\vec{\jmath} -20\vec{\jmath}
  • En el caso v0 = 8
t=0 t=π/4 t=π/8
v(m/s) 8\vec{\jmath} -7.07\vec{\imath}+5.66\vec{\jmath} -10\vec{\imath}
a(m/s²) -20\vec{\imath} -14.1\vec{\imath}+11.3\vec{\jmath} -16\vec{\imath}

6.2.1 Aceleración tangencial

La aceleración tangencial la calculamos como la proyección de \vec{a} sobre \vec{v}

a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}

De las tablas anteriores podemos ver que en muchos de los casos solicitados esta cantidad es nula, por ser la aceleración ortogonal a la velocidad


t=0 t=π/4 t=π/8
v0 = 0  ??? 14.1 0.0
v0 = 10 0.0 0.0 0.0
v0 = 8 0.0 3.98 0.0

En el caso v0 = 0 la velocidad es nula en t=0 y por ello la aceleración tangencial no está definida en ese instante.

6.2.2 Aceleración normal

El valor de la aceleración normal escalar lo podemos hallar de varias formas

a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|}=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}

De nuevo se anula en varios de los casos por ser la aceleración paralela a la velocidad

t=0 t=π/4 t=π/8
v0 = 0  ??? 0.0 0.0
v0 = 10 20 20 20
v0 = 8 20 17.7 16

6.3 Vectores tangente y normal

El vector tangente es el unitario en la dirección de la velocidad, por lo que simplemente debemos dividir cada una de las velocidades anteriores por la rapidez correspondiente.

t=0 t=π/4 t=π/8
v = 0 \vec{0} -7.07\vec{\imath} -10\vec{\imath}
v0 = 10 10\vec{\jmath} -7.07\vec{\imath}+7.07\vec{\jmath} -10\vec{\imath}
v0 = 8 8\vec{\jmath} -7.07\vec{\imath}+5.66\vec{\jmath} -10\vec{\imath}


6.4 Radio y centro de curvatura

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