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Oscilador armónico tridimensional

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico

\vec{a}=-\omega^2\vec{r}

con \omega = 2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}. Su posición inicial es \vec{r}_0=5\,\vec{\imath}\ (\mathrm{m}).

  1. Para el caso \vec{v}_0=\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  2. Para el caso \vec{v}_0=10.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
  3. Suponga ahora que \vec{v}_0=8.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula?
  4. Para los tres casos anteriores, determine
  1. la rapidez,
  2. las componentes intrínsecas de la aceleración,
  3. los vectores tangente y normal,
  4. el radio de curvatura y el centro de curvatura.
para los instantes t=0\,, t=0.25\pi\,\mathrm{s} y t = 0.125\pi\,\mathrm{s}.

2 Solución general

La solución general de la ecuación del oscilador armónico en 3D es de la forma

\vec{r}(t) = \vec{r}_0\cos(\omega t)+\frac{\vec{v}_0}\mathrm{sen}(\omega t)

siendo \vec{r}_0 la posición inicial y \vec{v}_0 la velocidad inicial de la partícula.

En este problema tenemos para todos los casos, empleando las unidades fundamentales del SI,

\omega = 2\qquad\qquad\vec{r}_0=5\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}

que al sustituir en la solución general nos dan la ecuación horaria

\vec{r}=5\cos(2t)\vec{\imath}+\frac{v_0}{2}\mathrm{sen}(2t)\vec{\jmath}

3 Caso v0 = 0 m/s

4 Caso v0 = 10 m/s

5 Caso v0 = 8 m/s

6 Cálculo de magnitudes

6.1 Rapidez

6.2 Componentes de la aceleración

6.3 Vectores tangente y normal

6.4 Racio y centro de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Oscilador_arm%C3%B3nico_tridimensional"

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