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Movimiento circular en 3D

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

\vec{r}(t)=4L\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5L\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3L\cos(\Omega t)\vec{k}

con L y Ω constantes.

  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
  3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Trayectoria

Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.

2.1 Identificación geométrica

Si separamos las tres componentes del movimiento

\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = &4L\cos(\Omega t) \\ y & = & 5L\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ z & = & 3L\cos(\Omega t)\end{array}\right.

De aquí es evidente que

z = \frac{3}{4}x\qquad\Rightarrow\qquad 3x-4z =0

Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como

\vec{B}\cdot\vec{r}=0\qquad\qquad \vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{k}

El vector \vec{B} es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.

Además tenemos que se cumple

x^2 + z^2 = 25L^2\cos^2(\Omega t)\qquad\qquad y^2 = 25L^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)

y sumando estas dos

x^2 + y^2 + z^2 = 25L^2\,

que es la ecuación de una esfera de radio R = 5L.

la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.

Archivo:corte-plano-esfea.png

2.2 Procedimiento cinemático

El método anterior es muy simple para determinar que el movimiento es plano, pero no siempre se encuentra a la primera qué combinación lineal de las variables nos da la ecuación del plano, si este existe.

Por ello, existen procedimiento sistemáticos para determinar esta situación.

Uno es el siguiente: hay que hallar la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo. El movimiento es plano si y solo si se cumple la condición

(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}=0

En nuestro caso tenemos

\begin{array}{ccccccc} \vec{v}(t) & = & -4L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& + & 5L\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\\ \vec{a}(t)& = & -4L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath}& - & 5L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\\ \dot{\vec{a}}(t) & = & +4L\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& - &5L\Omega^3\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& + & 3L\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\end{array}

El producto vectorial de la velocidad y la aceleración lo da el el determinante

\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 5L\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)& - 3L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ -4L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)& -5L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)& -3L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\end{matrix}\right|=-15L^2\Omega^3\vec{\imath}+20L^2\Omega^3\vec{k}

Siendo el producto mixto de los tres vectores

(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}= -15L^2\Omega^3\left(4L\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)+20L^2\Omega^3\left(3L\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)=0

Con eso ya tenemos que la trayectoria es plana. Para ver que además es circular vamos a calcular el radio de curvatura, según la fórmula

R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

La rapidez del movimiento vale

|\vec{v}|=\sqrt{16L^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)+25L^2\Omega^2\mathrm{cos}^2(\Omega t)+9L^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)}=5L\Omega

Esta cantidad es constante por lo que ya sabemos además que el movimiento es uniforme.

Hallamos ahora el radio de curvatura

R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{(5L\Omega)^3}{L^2\Omega^3\sqrt{15^2+20^2}}=5L

El radio de curvatura es constante.

Si el movimiento es plano y el radio de curvatura es constante, se trata de un movimiento circular.

3 Desplazamiento y distancia

3.1 Desplazamiento

Lo da la diferencia entre la posición final y la inicial

\Delta\vec{r}=\vec{r}_f-\vec{r}_i

Siendo la posición inicial

\vec{r}_i=\vec{r}(t=0)=4L\cdot 1\vec{\imath}+5L\cdot0\vec{\jmath}+3L\cdot 1\vec{k}=4L\vec{\imath}+3L\vec{k}

y la final la correspondiente a Ωt = π

\vec{r}_f=\vec{r}(t=\pi/\Omega)=4L\cdot(- 1)\vec{\imath}+5L\cdot0\vec{\jmath}+3L\cdot(- 1)\vec{k}=-4L\vec{\imath}-3L\vec{k}

El desplazamiento vale entonces

\Delta \vec{r}=-8L\vec{\imath}-6L\vec{k}

El valor absoluto de este desplzamiento es la distancia en línea recta entre los dos puntos

|\Delta\vec{r}| = \sqrt{64L^2+36L^2}=10L

3.2 Distancia

La calculamos integrando la rapidez

\Delta s = \int_0^{\pi/\Omega} |\vec{v}|\mathrm{d}t = \int_0^{\pi/\Omega} 5L\Omega\,\mathrm{d}t = 5\pi L

Esta distancia medida sobre la curva es mayor que la que se tiene en línea recta, que es la menor posible.

La interpretación es sencilla. Este movimiento es periódico. Cuando el argumento Ωt varía en 2π el seno y el coseno se repiten y la partícula vuelve a estar en la posición inicial. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es el periodo de revolución

T=\frac{2\pi}{\Omega}

Por tanto, el intervalo que estamos considerando es media vuelta. La distancia en línea recta es el diámetro de la circunferencia

|\Delta\vec{r}| = 2R = 10L

y la distancia sobre la curva es la longitud de media circunferencia

\Delta s = \pi R = 5\pi L\,

4 Tipo de movimiento

En los apartados anteriores ya hemos establecido todo lo necesario para identificar el movimiento:

  • Es plano
  • Tiene radio de curvatura constante
  • Tiene rapidez constante

Por tanto se trata de un movimiento circular uniforme.

5 Centro de la circunferencia

El centro de la circunferencia coincide con el centro de curvatura

\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}

En este caso, al ser el movimiento uniforme la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es normal, por lo que

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{ -4L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} - 5L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} - 3L\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}}{5L\Omega^2}=-\frac{4}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath} - \mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath} - \frac{3}{5}\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}

6 Cálculo de la velocidad angular

Una vez que tenemos identificado el movimiento como circular podemos identificar la velocidad angular a partir de la ecuación

\vec{v}=\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_c)

La velocidad angular es un vector que tiene por dirección la del eje de la circunferencia, por sentido el dado por la regla de la mano derecha y por módulo el que resulta de

|\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}|}{R}

Existen varias formas de determinar este vector

6.1 A partir del módulo, dirección y sentido

El módulo de esta velocidad angular cumple

|\vec{\omega}|=\frac{|\vec{v}|}{R}=\frac{5\Omega L}{5L}=\Omega

La dirección es la del eje. Este eje está en la dirección de la normal al plano de la circunferencia, dada por el vector unitario

\vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{k}

Por tanto

\vec{\omega}=\pm |\vec{\omega}|\vec{B}=\pm\left(\frac{3}{5}\Omega\vec{\imath}-\frac{4}{5}\Omega\vec{k}\right)

La dualidad de signos no se debe a que tenga los dos valores al mismo tiempo, sino a que aun no tenemos claro el sentido de este vector, ya que la regla de la mano derecha no es inmediata de ver en 3D.

La forma más fácil de determinar el sentido es yendo directamente a la ecuación

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}

donde ya hemos aplicado que sabemos que la partícula da vueltas alrededor del origen.

Desarrollando la expresión queda

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Movimiento_circular_en_3D"

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