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Movimiento circular en 3D

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

\vec{r}(t)=4C\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5C\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3C\cos(\Omega t)\vec{k}

con C y Ω constantes.

  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
  3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Trayectoria

Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.

2.1 Identificación geométrica

Si separamos las tres componentes del movimiento

\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = &4C\cos(\Omega t) \\ y & = & 5C\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ z & = & 3C\cos(\Omega t)\end{array}\right.

De aquí es evidente que

z = \frac{3}{4}x\qquad\Rightarrow\qquad 3x-4z =0

Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como

\vec{B}\cdot\vec{r}=0\qquad\qquad \vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}

El vector \vec{B} es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.

Además tenemos que se cumple

x^2 + z^2 = 25C^2\cos^2(\Omega t)\qquad\qquad y^2 = 25C^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)

y sumando estas dos

x^2 + y^2 + z^2 = 25C^2\,

que es la ecuación de una esfera de radio R = 5C.

la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.

Archivo:corte-plano-esfea.png

2.2 Procedimiento cinemático

El método anterior es muy simple para determinar que el movimiento es plano, pero no siempre se encuentra a la primera qué combinación lineal de las variables nos da la ecuación del plano, si este existe.

Por ello, existen procedimiento sistemáticos para determinar esta situación.

Uno es el siguiente: hay que hallar la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo. El movimiento es plano si y solo si se cumple la condición

(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}=0

En nuestro caso tenemos

\begin{array}{ccccccc} \vec{v}(t) & = & -4C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& + & 5C\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\\ \vec{a}(t)& = & -4C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\imath}& - & 5C\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}& - & 3C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{k}\\ \dot{\vec{a}}(t) & = & +4C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}& - &5C\Omega^3\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{\jmath}& + & 3C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{k}\end{array}

El producto vectorial de la velocidad y la aceleración lo da el el determinante

\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t) & 5C\Omega\,\mathrm{cos}(\Omega t)& - 3C\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ -4C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)& -5C\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)& -3C\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\end{matrix}\right|=-15C^2\Omega^3\vec{\imath}+20C^2\Omega^3\vec{k}

Siendo el producto mixto de los tres vectores

(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\dot{\vec{a}}= -15\left(4C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)+20\left(3C\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)=0

Podemos ver que este determinante se anula sin necesidad de desarrollarlo porque la tercera fila es igual a la primera multiplicada por − Ω2, o la tercera columna igual a la primera multiplicada por 3/4.

Con eso ya tenemos que la trayectoria es plana. Para ver que además es circular vamos a calcular el radio de curvatura, según la fórmula

R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

La rapidez del movimiento vale

|\vec{v}|=\sqrt{16C^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)+25C^2\Omega^2\mathrm{cos}^2(\Omega t)+9C^2\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)}=5C\Omega

Esta cantidad es constante por lo que ya sabemos además que el movimiento es uniforme.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Movimiento_circular_en_3D"

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