Campo y carga de un potencial conocido

De Laplace

Revisión a fecha de 14:23 26 nov 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Campo eléctrico
- 2.2 Densidad de carga
  - 2.2.1 Volumétrica
  - 2.2.2 Superficial

1 Enunciado

El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación

$\phi = V_0 \mathrm{e}^{-k \left|y\right|}\cos(k x)$

con $k$ y $V 0$ constantes.

Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
Calcule la densidad de carga que crea este campo eléctrico.

2 Solución

2.1 Campo eléctrico

Para calcular el campo debemos hallar el gradiente del potencial, cambiado de signo.

$\mathbf{E}=-\nabla\phi\,$

Para esto es conveniente separa el potencial en dos regiones

$\phi = \begin{cases}V_0 \mathrm{e}^{ky}\cos(kx) & y < 0 \\ & \\ V_0 \mathrm{e}^{-ky}\cos(kx) & y > 0 \end{cases}$

Hallando ahora el gradiente en cada región tenemos,

$\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathbf{u}_x-\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathbf{u}_y= \begin{cases}V_0k\mathrm{e}^{ky}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x-\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y < 0 \\ & \\ V_0k\mathrm{e}^{-ky}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y > 0\end{cases}$

o, agrupando los dos casos

$\mathbf{E}=V_0k\mathrm{e}^{-k|y|}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\sgn(y)\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)$

2.2 Densidad de carga

2.2.1 Volumétrica

La densidad de carga de volumen la obtenemos por aplicación de la ley de Gauss en forma diferencial

$\rho = \varepsilon_0 \nabla\cdot \mathbf{E} = \varepsilon_0\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial y}\right)$

Para hallar esta cantidad volvemos a descomponer en los dos semiespacios. Para $y > 0$ tenemos

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathbf{E} = V_0k\mathrm{e}^{-ky}\left(cos(kx)\mathbf{u}_x+\mathrm{sen}\,(kx)\mathbf{u}_y}\right)

2.2.2 Superficial

Campo y carga de un potencial conocido

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Campo eléctrico

2.2 Densidad de carga

2.2.1 Volumétrica

2.2.2 Superficial

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES