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Campo y carga de un potencial conocido

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación

\phi = V_0 \mathrm{e}^{-k \left|y\right|}\cos(k x)

con k y V0 constantes.

  1. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule la densidad de carga que crea este campo eléctrico.

2 Solución

2.1 Campo eléctrico

Para calcular el campo debemos hallr el gradiente del potencial, cambiado de signo.

\mathbf{E}=-\nabla\phi\,

Para esto es conveniente separa el potencial en dos regiones

\phi = \begin{cases}V_0 \mathrm{e}^y\cos(kx) & y < 0 \\ & \\ V_0 \mathrm{e}^{-y}\cos(kx) & y > 0 \end{cases}

Hallando ahora el gradiente en cada región tenemos,

\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathbf{u}_x-\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathbf{u}_y= \begin{cases}V_0\mathrm{e}^y\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x-\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y < 0 \\ & \\ V_0\mathrm{e}^{-y}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y > 0\end{cases}

o, agrupando los dos casos

\mathbf{E}=V_0\mathrm{e}^{-|y|}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\sgn(y)\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)

2.2 Densidad de carga

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campo_y_carga_de_un_potencial_conocido"

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