No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)
De Laplace
1 Enunciado
Considérese un tubo cilíndrico, de radio 
y longitud 
, a lo largo del cual fluye un cierto líquido. Bajo
ciertas condiciones, el volumen 
de líquido que pasa por el tubo en un intervalo de tiempo 
viene dado por la fórmula:
donde 
es la diferencia de presión entre los extremos del tubo, y 
es la viscosidad dinámica del líquido (la unidad de en el SI es 
).
¿Cuál es necesariamente el valor del exponente 
del radio tubular en la fórmula anterior?
2 Solución
Para responder esta cuestión, basta con exigir homogeneidad dimensional a la fórmula que se nos ha dado en el enunciado. Al tomar dimensiones en ella, desaparecen del segundo miembro los factores numéricos "
" (en el numerador) y "8" (en el denominador) por ser adimensionales, y se obtiene:
![\frac{[\Delta V]}{[\Delta\, t]}=\frac{[r]^{n}}{[\eta][L]}\,[\Delta p]](/wiki/images/math/6/2/3/623ea21e76ab104da96c678acd88489e.png)
Observamos primero que algunas de las magnitudes presentes en la fórmula son magnitudes básicas. Es el caso del radio tubular (longitud), de la longitud tubular (longitud) y del intervalo de tiempo (tiempo).
Hay un segundo grupo de magnitudes que son magnitudes derivadas de cuyas dimensiones el enunciado no nos informa a pesar de que son magnitudes derivadas. Se considera que debemos conocerlas, bien por su sencillez o bien nsiones, sin embargo, el enunciado no nos informa de cuáles son sus dimensiones porque se considera que debemos conocerlas, bien por su sencillez o bien por haber aparecido en problemas de boletín hechos en clase
El enunciado del ejercicio no nos informa de cuáles son las dimensiones de una presión (fuerza partido por superficie) y de una velocidad porque se considera que debemos conocerlas (aparecen en problemas de boletín hechos en clase):
![[p_{\mathrm{max}}]=\frac{[F\,]}{[S\,]}=\frac{MLT^{-2}}{L^2}=ML^{-1}T^{-2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
[v]=LT^{-1}](/wiki/images/math/1/b/8/1b820e9ed58683105281d0ed660c0742.png)
Sin embargo, sí se nos dice que la unidad SI de densidad es el kg/m3, lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de una densidad:
![\mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, \rho_o = 1\,\mathrm{kg/m}^3\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\rho_o]=ML^{-3}](/wiki/images/math/a/9/b/a9b91b048741efad8e89942365429238.png)
Sustituyendo las dimensiones de presión, velocidad y densidad, obtenemos al fin la ecuación dimensional de 
:
![[I\,]=\frac{[p_{\mathrm{max}}]^2}{[\rho_o][v]}=\frac{(ML^{-1}T^{-2})^2}{ML^{-3}LT^{-1}}=MT^{-3}](/wiki/images/math/4/8/0/48047484e711d4e320d75f4f62bbf196.png)
Analicemos en primer lugar las dimensiones Tomando dimensiones en la fórmula dada:
![\frac{[\Delta V]}{[\Delta\, t]}=\frac{\pi r^{n}}{8\eta L}\,\Delta p](/wiki/images/math/9/2/0/9209bc5d345c5bb901d6ec679d4bbfb5.png)
