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Propiedades de un sistema de tres partículas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Considere un sistema de tres partículas de masas m_1=100\,\mathrm{g}, m_2=200\,\mathrm{g}, m_3=100\,\mathrm{g} que en un instante dado están situadas en las posiciones de la figura y moviéndose con la velocidad indicada, siendo la rapidez de cada una de ellas 10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}. Suponga que la masa 1 y la 3 está unidas por un resorte de longitud natural nula y constante k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}. Para el instante indicado

  1. Halle la posición del centro de masas (CM) del sistema.
  2. Calcule la cantidad de movimiento del sistema.
  3. Halle el momento cinético respecto al origen y respecto al CM.
  4. Calcule la energía cinética del sistema respecto a un sistema fijo y respecto al CM.
  5. Halle la aceleración de cada masa y la del CM.
  6. Halle la derivada respecto al tiempo del momento cinético (calculado respecto al origen).
  7. Calcule la derivada respecto al tiempo de la energía cinética del sistema (calculada respecto a un sistema fijo).
Archivo:tres-particulas-resorte.png

2 Posición del centro de masas

La posición del centro de masas (CM) es la media ponderada de las tres posiciones

\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3}

Sustituyendo los diferentes valores

\vec{r}_C = \frac{100(4\vec{\jmath})+200(4\vec{\imath}+4\vec{\jmath})+400(4\vec{\imath})}{100+200+100}\,\mathrm{cm}=(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath})\mathrm{cm}

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sistema es la suma de la de cada una de las partículas que lo componen

\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3

y su valor en este caso es

\vec{p}=\left(100(-10\vec{\jmath})+200(-10\vec{\imath})+100(10\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(-2000\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(-0.02\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

A partir de la cantidad de movimiento podemos hallar la velocidad del CM dividiendo por la masa total

\vec{v}_C = \frac{\vec{p}}{M}=\left(\frac{-2000\vec{\imath}}{400}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(-5\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

4 Momento cinético

4.1 Respecto al origen

El momento cinético es igual a la suma de los momentos cinéticos de las diferentes partículas respecto al mismo punto

\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2+m_3\vec{r}_3\times\vec{v}_3

siendo cada uno

  • \vec{L}_1 = 100\,(4\vec{\jmath})\times(-10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\vec{0}
  • \vec{L}_2 = 200\,(4\vec{\imath}+4\vec{\jmath})\times(-10\vec{\imath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\left(8000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}
  • \vec{L}_3 = 100\,(4\vec{\imath})\times(10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\left(4000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}

lo que nos da el total

\vec{L}_O=\left(12000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}

Cada uno de los momentos individuales se puede hallar observando que en módulo cumplen

|\vec{L}_i|=m_id_i |\vec{v}_i|

siendo di la distancia de O a la recta soporte de la velocidad (aquella que pasa por el punto y tiene la dirección de la velocidad). La dirección y el sentido de cada uno lo da la regla de la mano derecha.

4.2 Respecto al CM

El momento cinético se puede descomponer en una parte debida al movimiento con el CM más una parte debida al movimiento alrededor de éste

\vec{L}_O=M\vec{r}_C\times\vec{v}_C+\vec{L}^{\,,}

Podemos hallar el momento respecto al CM o bien empleando las posiciones y velocidades relativas

\vec{L}^{\,,}=\sum_im_i\vec{r}_i^{\,,}\times\vec{v}^{\,,}_i

o bien despejando de la expresión anterior

\vec{L}^{\,,}=\vec{L}_O-M\vec{r}_C\times\vec{v}_C

El momento cinético del sistema por moverse con el CM vale

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = \vec{r}_C\times\vec{p}=\left(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}\right)\times(-2000\vec{\imath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}}{\mathrm{s}}=(6000\vec{k})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}}{\mathrm{s}}\,\vec{k}

5 Energía cinética

5.1 Respecto a un sistema fijo

5.2 Respecto al CM

6 Aceleraciones

7 Derivada del momento cinético

8 Derivada de la energía cinética

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Propiedades_de_un_sistema_de_tres_part%C3%ADculas"

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