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Base ortonormal dextrógira

De Laplace

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1 Definición

Una base vectorial se dice que es ortonormal dextrógira, si sus vectores son unitarios, ortogonales, y verifican la regla de la mano derecha.

2 Vectores unitarios,...

Un vector es unitario cuando su módulo es la unidad. Matemáticamente, esto quiere decir que si la base vectorial es \left\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\right\} se cumple

\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1 = 1\qquad\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2 = 1\qquad
\mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_3 = 1

3 ...ortogonales,...

Una base es ortonormal cuando además de ser unitaria, sus vectores son ortogonales entre sí. Esto se expresa como

\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2 = 0\qquad\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_3 = 0\qquad
\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_3 = 0

La condición de ortonormalidad (carácter unitario más ortogonalidad) se puede expresar de forma compacta con ayuda de la Delta de Kronecker

\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_k = \delta_{ik} = \left\{\begin{array}{ll}1 & i=k \\ 0 & i\neq k\end{array}\right.

4 ...y que cumplen la regla de la mano derecha

Se dice que un conjunto ordenado de tres vectores ortonormales cumple la regla de la mano derecha (o, técnicamente, es dextrógiro) cuando el producto vectorial de los dos primeros da el tercero:

\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2 = \mathbf{u}_3

y como consecuencia de lo anterior

\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3 = \mathbf{u}_1\qquad\qquad\mathbf{u}_3\times\mathbf{u}_1= \mathbf{u}_2

y también

\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_1 = -\mathbf{u}_3\qquad\qquad\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_3= -\mathbf{u}_2\qquad\qquad\mathbf{u}_3\times\mathbf{u}_2= -\mathbf{u}_1

La forma compacta de escribir esta fórmula es mediante el símbolo \varepsilon_{ijk}, que verifica

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ o } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3), \\
0 & \mbox{en otro caso: }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i,
\end{cases}

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