Centro de masas en sistemas de esferas

De Laplace

Revisión a fecha de 19:23 15 dic 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Dos esferas adyacentes
- 2.1 Masas
- 2.2 Centro de masas
3 Una esfera con hueco

1 Enunciado

Se tienen dos esferas macizas del mismo material de densidad homogénea, $ρ 0$ , una de ellas de radio $R$ y la otra de radio $R / 2$ . Las dos esferas son adyacentes. Determine la posición del centro de masas del sistema.

Si en lugar del sistema anterior se tiene una sola esfera maciza de radio $R$ y densidad homogénea $ρ 0$ en la que se ha horadado una cavidad también esférica, de radio $R / 2$ , cuyo centro se encuentra a una distancia $R / 2$ del centro de la esfera original ¿dónde se halla el centro de masas del sólido?

2 Dos esferas adyacentes

El centro de masas de un sistema de partículas se calcula mediante la expreisón

$\vec{r}_C=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{M}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+...}$

En el caso de que tengamos una distribución continua, esta fórmula se sustituye por la correspondiente integral

$\vec{r}_C=\frac{1}{M}\int_M \vec{r}_\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_V \rho\,\vec{r}\,\mathrm{d}V$

En principio, para calcular el centro de masas del conjunto de las dos esferas debemos hacer la integral sobre el volumen completo. Sin embargo, el problema se simplifica si lo descomponemos en las dos partes que lo componen.

2.1 Masas

En primer lugar tenemos que la masa total del conjunto es la suma de las masas de cada una de las esferas

$M = M_1+M_2 = \int_{V_1}\rho_1\,\mathrm{d}V+\int_{V_2}\rho_2\,\mathrm{d}V$

En este caso las dos densidades son homogéneas (independientes de la posición) e iguales en las dos esferas, por lo que

$M_1 = \int_{V_1}\rho_1\,\mathrm{d}V = \rho_0V_1 = \frac{4\pi}{3}\rho_0R^3$ $M_2 = \int_{V_2}\rho_2\,\mathrm{d}V = \rho_0V_2 = \frac{4\pi}{3}\rho_0\left(\frac{R}{2}\right)^3=\frac{M_1}{8}$

siendo la masa total

$M=M_1+M_2=M_1+\frac{M_1}{8}=\frac{9}{8}M_1$

2.2 Centro de masas

Para el numerador que aparece en el centro de masas realizamos una descomposición similar y nos queda

$M\vec{r}_c = \int_{V}\rho\,\vec{r}\,\mathrm{d}V = \int_{V_1}\rho_1\,\vec{r}\,\mathrm{d}V+\int_{V_2}\rho_2\,\vec{r}\,\mathrm{d}V$

Ahora bien, los centros de masas de cada una de las esferas por separado verifican

$\vec{r}_{C1}=\frac{1}{M_1}\int_{V_1}\rho_1\vec{r}\mathrm{d}V\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=\frac{1}{M_2}\int_{V_2}\rho_1\vec{r}\mathrm{d}V$

y por tanto

$M\vec{r}_C=M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}_{C}=\frac{M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}}{M_1+M_2}$

es decir, el centro de masas de la figura completa se puede hallar considerándola compuesta por solo dos partículas, cada una de las cuales tiene la masa de cada parte y se encuentra en el centro de masas de cada una. Esto es válido independientemente de que se trate de esferas o de cualquier otra figura o división que se haga en el sistema.

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3 Una esfera con hueco

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