Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

4.1. Estudio de la velocidad de tres puntos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un hipotético sólido rígido, las posiciones y velocidades de tres puntos son respectivamente:

\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 4\vec{\imath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = &2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&2\vec{\imath}-\vec{\jmath} \end{array}
  1. Demuestre que estas velocidades son compatibles con la condición de rigidez.
  2. Halle la velocidad del punto O(0,0,0).
  3. Calcule la velocidad del punto \overrightarrow{OP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}.
  4. ¿Existe algún punto que tenga velocidad nula? ¿Dónde estaría situado?

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Condición de rigidez

Para que un movimiento sea posible en un sólido rígido debe cumplirse, para todos y cada uno de sus pares de puntos la condición cinemática de rigidez, consistente en la equiproyectividad del campo de velocidades:

\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Aplicando esta condición para cada par de partículas resulta:

Partículas A y B
\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \end{matrix}\right.
Partículas A y C
\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \end{matrix}\right.
Partículas B y C
\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \end{matrix}\right.

Puesto que los tres pares verifican la condición, estas velocidades son compatibles con un movimiento de un sólido rígido.

3 Velocidad del origen

La velocidad de cualquier otro punto se puede obtener aplicando la equiproyectividad con los tres puntos que ya tenemos. Si la velocidad de O es

\vec{v}^O = a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k}

la condición cinemática de rigidez nos da, para el par formado por O y A

\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA}   \Rightarrow   (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\imath}=(4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot\vec{\imath}   \Rightarrow   a=4\,

Para O y B

\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB}   \Rightarrow   (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\jmath}= (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot\vec{\jmath}   \Rightarrow   b=-2\,

Y para O y C

\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{OC}   \Rightarrow   (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{k}= (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot\vec{k}   \Rightarrow   c=0\,

Reuniendo los tres resultados obtenemos la velocidad

\vec{v}^O = (4\vec{\imath}-2\vec{\jmath})\,\mathrm{m/s}

4 Velocidad del punto P

El mismo procedimiento puede emplearse para cualquier otro punto, si bien en general resultará un sistema de ecuaciones lineales. Si la velocidad del punto P es de la forma

\vec{v}^P = d\vec{\imath}+e\vec{\jmath}+f\vec{k}

resultan las ecuaciones

Para P y A

\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}        \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}   \Rightarrow   d-2e-f=2\,

Para P y B

\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-\vec{k}        \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{BP}= \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BP}   \Rightarrow   2d-3e-f=11\,

Para P y C

\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}        \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{CP}= \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CP}   \Rightarrow   2d-2e-2f=6\,

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{matrix}d & - & 2e & - & f & = & 2 \\ 2d& - & 3e & - & f & = & 11 \\ 2d & - &2e & -& 2f &= & 6\end{matrix}\right.

con solución

d = 10\qquad e = 1\qquad f = 6\qquad\vec{v}^P = (10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s}

Un procedimiento alternativo para calcular la velocidad de un cuarto punto del sólido rígido, conocidas las velocidades de tres puntos no alineados, consiste en determinar primero el vector velocidad angular \vec{\omega}\,. Las velocidades conocidas están obligadas a satisfacer la ecuación del campo de velocidades. Así, por ejemplo:

\vec{v}^{B}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, 2\,\vec{\jmath}\, -\,\vec{k}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-\omega_z & & \\ -2 & = & -\omega_z &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \omega_z=2 \\ -1 & = & 2+\omega_x+\omega_y & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_y=-3-\omega_x \end{array} \right.

Y por otra parte:

\vec{v}^{C}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, \vec{\jmath}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & -3-\omega_x & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-3-\omega_x & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_x=-1 \\ ... & = & ... & & \\ ... & = & ... & & \end{array} \right.

Ya tenemos información suficiente para escribir el vector velocidad angular:

\vec{\omega}=(-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+\,2\vec{k})\,\mathrm{rad/s}

Y ahora, una vez conocido \vec{\omega}\,, se puede calcular la velocidad de cualquier punto utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades:

\vec{v}^{P}=\vec{v}^{O}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=4\,\vec{\imath}\, -\,2\,\vec{\jmath}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=(10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s}

5 Puntos en reposo instantáneo

5.1 A partir de la ecuación del campo de velocidades

Se trata de buscar un punto (o un conjunto de ellos), I, tales que:

\overrightarrow{OI}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}        \vec{v}^I = \vec{0}

Apoyándonos en la velocidad ya conocida del punto O\,, podemos escribir:

\vec{v}^I=\vec{v}^O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OI}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{0}=4\,\vec{\imath}\, -\,2\,\vec{\jmath}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ x & y & z \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 0 & = & 4-2z-2y & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & 2y+2z=4 \\ 0 & = & -2+2x+z &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& 2x+z=2 \\ 0 & = & -y+2x & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & 2x-y=0 \end{array} \right.

Por tanto, el sistema de ecuaciones cuya solución nos da la posición de los puntos de velocidad instantánea nula es:

\left\{\begin{matrix} & & 2y & + & 2z & = & 4 \\ 2x& & & + & z & = & 2 \\ 2x & - &y & & &= & 0\end{matrix}\right.

Este sistema es compatible indeterminado. Podemos prescindir de la primera ecuación porque es linealmente dependiente de las otras dos (se obtiene restándole la tercera ecuación multiplicada por 2 a la segunda ecuación multiplicada por 2). Podemos quedarnos, pues, con el sistema de dos ecucaciones:

\left\{\begin{matrix} 2x& & & + & z & = & 2 \\ 2x & - &y & & &= & 0\end{matrix}\right.

Despejando en la última ecuación

y = 2x\,   \Rightarrow   \left\{\begin{matrix} 4x & + & 2z & = & 4 \\ -2x & - & z & = & -2\end{matrix}\right.   \Rightarrow   z = 2-2x\,

Por tanto obtenemos un conjunto infinito de soluciones, situadas sobre la recta

\left\{\begin{matrix}x & = & \lambda \\ y & = & 2\lambda \\ z & = & 2-2\lambda\end{matrix}\right.   \Rightarrow   \overrightarrow{OI}=2\vec{k}+\lambda(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k})
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/4.1._Estudio_de_la_velocidad_de_tres_puntos"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace