4.1. Estudio de la velocidad de tres puntos

De Laplace

Revisión a fecha de 15:47 27 nov 2012; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Condición de rigidez
3 Velocidad del origen
4 Velocidad del punto P
5 Puntos en reposo instantáneo
- 5.1 A partir de la ecuación del campo de velocidades

1 Enunciado

En un hipotético sólido rígido, las posiciones y velocidades de tres puntos son respectivamente:

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 4\vec{\imath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = &2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&2\vec{\imath}-\vec{\jmath} \end{array}$

Demuestre que estas velocidades son compatibles con la condición de rigidez.
Halle la velocidad del punto $O (0,0,0)$ .
Calcule la velocidad del punto $\overrightarrow{OP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}$ .
¿Existe algún punto que tenga velocidad nula? ¿Dónde estaría situado?

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Condición de rigidez

Para que un movimiento sea posible en un sólido rígido debe cumplirse, para todos y cada uno de sus pares de puntos la condición cinemática de rigidez, consistente en la equiproyectividad del campo de velocidades:

$\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}$

Aplicando esta condición para cada par de partículas resulta:

Partículas A y B

$\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \end{matrix}\right.$

Partículas A y C

$\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \end{matrix}\right.$

Partículas B y C

$\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \end{matrix}\right.$

Puesto que los tres pares verifican la condición, estas velocidades son compatibles con un movimiento de un sólido rígido.

3 Velocidad del origen

La velocidad de cualquier otro punto se puede obtener aplicando la equiproyectividad con los tres puntos que ya tenemos. Si la velocidad de O es

$\vec{v}^O = a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k}$

la condición cinemática de rigidez nos da, para el par formado por O y A

$\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA}$ $\Rightarrow$ $(a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\imath}=(4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot\vec{\imath}$ $\Rightarrow$ $a=4\,$

Para O y B

$\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB}$ $\Rightarrow$ $(a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\jmath}= (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot\vec{\jmath}$ $\Rightarrow$ $b=-2\,$

Y para O y C

$\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{OC}$ $\Rightarrow$ $(a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{k}= (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot\vec{k}$ $\Rightarrow$ $c=0\,$

Reuniendo los tres resultados obtenemos la velocidad

$\vec{v}^O = (4\vec{\imath}-2\vec{\jmath})\,\mathrm{m/s}$

4 Velocidad del punto P

El mismo procedimiento puede emplearse para cualquier otro punto, si bien en general resultará un sistema de ecuaciones lineales. Si la velocidad del punto P es de la forma

$\vec{v}^P = d\vec{\imath}+e\vec{\jmath}+f\vec{k}$

resultan las ecuaciones

Para P y A

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}$ $\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}$ $\Rightarrow$ $d-2e-f=2\,$

Para P y B

$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-\vec{k}$ $\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{BP}= \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BP}$ $\Rightarrow$ $2d-3e-f=11\,$

Para P y C

$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}$ $\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{CP}= \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CP}$ $\Rightarrow$ $2d-2e-2f=6\,$

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{matrix}d & - & 2e & - & f & = & 2 \\ 2d& - & 3e & - & f & = & 11 \\ 2d & - &2e & -& 2f &= & 6\end{matrix}\right.$

con solución

$d = 10\qquad e = 1\qquad f = 6\qquad\vec{v}^P = (10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s}$

Un procedimiento alternativo para calcular la velocidad de un cuarto punto del sólido rígido, conocidas las velocidades de tres puntos no alineados, consiste en determinar primero el vector velocidad angular $\vec{\omega}\,$ . Las velocidades conocidas están obligadas a satisfacer la ecuación del campo de velocidades. Así, por ejemplo:

$\vec{v}^{B}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, 2\,\vec{\jmath}\, -\,\vec{k}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-\omega_z & & \\ -2 & = & -\omega_z &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \omega_z=2 \\ -1 & = & 2+\omega_x+\omega_y & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_y=-3-\omega_x \end{array} \right.$

Y por otra parte:

$\vec{v}^{C}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, \vec{\jmath}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & -3-\omega_x & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-3-\omega_x & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_x=-1 \\ ... & = & ... & & \\ ... & = & ... & & \end{array} \right.$

Ya tenemos información suficiente para escribir el vector velocidad angular:

$\vec{\omega}=(-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+\,2\vec{k})\,\mathrm{rad/s}$

Y ahora, una vez conocido $\vec{\omega}\,$ , se puede calcular la velocidad de cualquier punto utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades:

$\vec{v}^{P}=\vec{v}^{O}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=4\,\vec{\imath}\, -\,2\,\vec{\jmath}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=(10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s}$