Barra articulada en otra barra, Noviembre 2012 (G.I.C.)

De Laplace

Revisión a fecha de 20:44 26 nov 2012; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una barra de radio $R$ gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto $O$ . En su otro extremo se articula otra barra de longitud $R$ que a su vez gira en con la misma velocidad angular.

Expresa el vector de posición $\overrightarrow{OP}$ en función del ángulo $θ$ de la figura.
Si $\dot{\theta}=\omega$ y el módulo de la velocidad del punto $P$ es $v 0$ , encuentra el valor de $ω$ .
Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de $P$ .
Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.

2 Solución

2.1 Vector de posición

El vector de posición del punto $P$ puede construirse como la suma

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}$

Tenemos

$\overrightarrow{OA} = R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}$

Por otro lado

$\overrightarrow{AP} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\cos\theta\,\vec{\jmath}$

Por tanto el vector buscado es

$\overrightarrow{OP} = R\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta\,)\,\vec{\imath} + R\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}$

2.2 Velocidad angular

Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad

$\vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} = -R\,\dot{\theta}\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\imath} + R\,\dot{\theta}\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}$

El módulo de este vector es

$|\vec{v}| = R\,\dot\theta\,\sqrt{\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta + 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta + \mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta - 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta } =\sqrt{2}\,R\,\dot{\theta} =\sqrt{2}\,R\,\omega$

El enunciado nos dice que este módulo vale $v 0$ . Por tanto

$\omega = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}\,R}$

2.3 Vector normal

Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que $v 0$ es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso $\dot{\theta}=\omega$ es constante tenemos

$\vec{a}= \dot{\vec{v}} = -R\,\dot{\theta}^2\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} -R\,\dot{\theta}^2\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}$