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Conservación de magnitudes en movimiento curvo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe el movimiento plano

\rho = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\varphi = \Omega t\qquad\qquad\ t \in(0,\pi/\Omega)
  1. Calcule la fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante del intervalo.
  2. Halle el impulso que experimenta entre t = 0 y t = π / (2Ω).
  3. Demuestre que el momento cinético de la partícula respecto al origen no se conserva, pero respecto al punto \vec{r}_1 = (A/2)\vec{\jmath} sí.
  4. Calcule la energía cinética de la partícula. ¿Se conserva esta cantidad?

2 Fuerza

Podemos calcular la fuerza aplicando la segunda ley de Newton

\vec{F}=m\vec{a}

Expresamos en primer lugar la posición en coordenadas cartesianas

x = \rho\cos(\varphi) = A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\varphi)=A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)

Derivando una vez tenemos las componentes cartesianas de la velocidad

v_x = \dot{x} = A\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) =A\Omega\cos(2\Omega t)\qquad v_y = \dot{y}=2A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)=A\Omega \,\mathrm{sen}(2\Omega t)

y derivando una segunda vez las de la aceleración

a_x=\ddot{x}=-2A\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad a_y = \ddot{y}=2A\Omega^2 \cos(2\Omega t)

lo que nos da la fuerza

\vec{F}=m\vec{a}=mA\Omega^2(-\mathrm{sen}\left(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}\right)

3 Impulso

El impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento

\vec{P}=\Delta\vec{p}=\vec{p}(t=\pi/(2\Omega))-\vec{p}(t=0)

Hallamos la cantidad de movimiento para todo instante, empleando las componentes de la velocidad que hallamos antes.

\vec{p}=m \vec{v}=mA\Omega\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)

En los dos instantes indicados

\vec{p}(t=0)=mA\Omega \vec{\imath}\qquad\qquad \vec{p}(t=\pi/\Omega)= mA\Omega\left(\cos(\pi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\pi)\vec{\jmath}\right)=-mA\Omega\vec{\imath}

y por tanto

\vec{P}=\Delta \vec{p}=-mA\Omega\vec{\imath}-mA\Omega\vec{\imath}= -2mA\Omega\vec{\imath}

También podemos llegar a este resultado integrando la fuerza

\vec{P}=\int_0^{\pi/\Omega} \vec{F}\,\mathrm{d}t

4 Momento cinético

La definición del momento cinético respecto al origen de coordenadas es

\vec{L}_O = m\overrightarrow{OP}\times\vec{v}=m\vec{r}\times\vec{v}

Para el caso de un movimiento plano esta cantidad se reduce a

\vec{L}_O = m\left|\begin{matrix} \vec{\imath}& \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ v_x & v_y & 0 \end{matrix}\right| = m\left(xv_y-yv_x\right)\vec{k}

Sustituyendo las expresiones de las coordenadas y las componentes de la velocidad

\vec{L}_O = m\left(A\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)A\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)A\Omega \cos(2\Omega t)\right)\vec{k}

Sacando factor común

\vec{L}_O = mA^2\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\left(\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(2\Omega t)-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(2\Omega t)\right)\vec{k}=A^2\Omega\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{k}

Esta cantidad no es constante, sino que varía con el tiempo.

Consideremos ahora el momento cinético respecto al punto

\overrightarrow{OB}=\vec{r}_1=\frac{A}{2}\vec{\jmath}

Para este punto tenemos

\vec{L}_B=m\overrightarrow{BP}\times\vec{v}= m\left|\begin{matrix} \vec{\imath}& \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x-x_B & y -y_B& 0 \\ v_x & v_y & 0 \end{matrix}\right| = m\left((x-x_B)v_y-(y-y_B)v_x\right)\vec{k}

Sustituyendo las expresiones correspondientes

center>\vec{L}_B = m\left(A\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)A\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t)-\left(A\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)-\frac{A}{2}\right)A\Omega \cos(2\Omega t)\right)\vec{k}</center>

5 Energía cinética

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Conservaci%C3%B3n_de_magnitudes_en_movimiento_curvo"

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