Escalas y gráficas logarítmicas
De Laplace
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1 Rectas exponenciales y potenciales
En muchos casos, la dependencia funcional entre la entrada y la salida no es lineal pero, con alguna transformación matemática en los datos puede reducirse a un ajuste lineal. Veamos algunos ejemplos:
1.1 Dependencia exponencial
Supongamos que la relación funcional supuesta es de la forma
En este caso, tomando logaritmos en los dos miembros queda
que podemos reescribir como
esto es, que si a partir de las salidas yi hallamos sus respectivos logaritmos, zi y calculamos la recta de mejor ajuste de zi frente a los xi, el resultado es una recta que nos da los parámetros K y λ. El factor del exponente coincide con la pendiente de la recta, mientras que el prefactor K vale
Los errores de λ y A serán
Para obtener gráficamente una recta en este caso deberemos representar ln(y) frente a x.
1.2 Dependencia potencial
En ocasiones debemos suponer que entre la entrada y la salida existe una relación potencial de la forma
y el objetivo es determinar el exponente α y el prefactor k. Esto lo conseguimos hallando el logaritmo de cada miembro
que se puede escribir como
es decir, que si se representa gráficamente ln(y) frente a ln(x) (lo que se denomina una gráfica log-log) deberemos obtener un comportamiento aproximadamente lineal.
Los errores del prefactor y del exponente serán
2 Escalas logarítmicas
Cuando se tienen datos de los que se sabe, o se sospecha, que poseen una conducta exponencial o potencial, interesa usar como eje el logaritmo de una o de las dos cantidades. Sin embargo, al indicar en los ejes dichos logaritmos, las gráficas son más difíciles de interpretar. Es mucho más fácil entender una gráfica en la que los puntos corresponden a “2” y a “3”' que una en que corresponden a “0.301” y “0.477” (los logaritmos decimales de 2 y 3).
Nos interesa entonces una representación que, aun estando las marcas espaciadas según los logaritmos de 1, 2, 3,…, las etiquetas corresponden a “1”, “2”, “3”,… de forma que sabemos a qué valor original corresponde cada logaritmo.
Para construir esta escala logarítmica se emplea usualmente la base 10. Se sitúa la marca de “1” en el origen (pues su logaritmo es 0) y “10” a una distancia unitaria (por ejemplo, 1 cm). Los valores correspondientes a “2”, “3”, etc., se situarán a 0.301 cm, 0.477 cm, etc. del origen.
Esto produce una escala no lineal, en la que las marcas se van acumulando. Así, la distancia entre 100 y 10 es la misma que entre 10 y 1, y la marca del 20 dista del 10, lo mismo que la del 2 de la del 1.
El uso de estas escalas es especialmente útil cuando se tienen un rango de datos muy amplio, como por ejemplo, al hacer un barrido en frecuencias. Empleando una escala logarítmica se le da la misma importancia a las bajas frecuencias que a las altas. Por ejemplo, para la respuesta un circuito RLC, la representación en una escala logarítmica muestra la simetría del comportamiento para altas y bajas frecuencias:
3 Gráficas con escalas logarítmicas
Combinando los diferentes tipos de escalas, podemos tener gráficas semilogarítmicas, cuando una de las dos escalas es logarítmica y la otra lineal (útil para comportamientos exponenciales y logarítmicos), y logarítmicas (o log-log), cuando las dos escalas son logarítmicas (apropiado para comportamientos potenciales).
No es necesario diseñar manualmente este tipo de escalas: los programas de representación gráfica, como Excel, permiten seleccionar escalas logarítmicas. También existen papeles milimetrados con una o dos escalas logarítmicas.
Por ejemplo, supongamos que tenemos los datos
| r (cm) | V (V) |
|---|---|
| 2 | 9.93 |
| 3 | 7.44 |
| 4 | 5.54 |
| 5 | 4.11 |
| 6 | 3.18 |
| 7 | 2.02 |
| 8 | 1.25 |
| 9 | 0.85 |
| 10 | 0.02 |
Si representamos el voltaje respecto a la distancia, obtenemos una gráfica como la de la figura. En esta apreciamos un decrecimiento con r pero que no es totalmente lineal. Esa curvatura podría obedecer a una exponencial, una parábola, un logaritmo,…
Si la tabla anterior la representamos en una gráfica semilogarítmica, en la que una de las dos escalas (la de la distancia) es logarítmica, mientras que la del voltaje es lineal, el resultado es claramente rectilíneo, por lo que debemos suponer una dependencia de la forma V = a + bln(r)
Como otro ejemplo, supongamos la siguiente tabla de datos
| x (cm) | B (mT) |
|---|---|
| 0.5 | 24.83 |
| 1.0 | 12.79 |
| 1.5 | 8.45 |
| 2.0 | 6.58 |
| 2.5 | 4.90 |
| 3.0 | 4.02 |
| 3.5 | 3.37 |
| 4.0 | 2.96 |
| 4.5 | 2.57 |
| 5.0 | 2.57 |
| 5.5 | 2.34 |
| 6.0 | 2.36 |
En una representación con escalas lineales, la gráfica podría ser un decaimiento exponencial, o una hipérbola, u otros comportamientos.
Si hacemos la representación en una gráfica log-log, vemos la ley teórica es una potencial, pues en esta gráfica muestra un comportamiento lineal. Es más, midiendo la pendiente en esta representación resulta un valor próximo a -1, lo que indica que sigue una ley B = K / x.
