6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)
De Laplace
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1 Enunciado
El plano vertical fijo 
(sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio 
(sólido "2"), y una barra 
de longitud 
(sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical 
, avanzando su centro 
con velocidad constante 
. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo está articulado al
centro del disco, mientras que su extremo 
está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje 
.
Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo 
que forma la barra con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:
- Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación:
, 
y 
.
- Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir:
y 
.
- Calcular las aceleraciones
y 
(ver 
en la figura).
2 Determinación gráfica de los centros instantáneos de rotación
Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:
El extremo de la barra (sólido "0") se halla articulado al centro del disco (sólido "2"). Por tanto, dicho punto es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:
Dado que el extremo de la barra (sólido "0") está obligado a recorrer el eje (sólido "1"), la velocidad 
tiene necesariamente la dirección del eje . Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto y trazando la recta que pasa por los puntos y (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto en la intersección de ambas rectas:
(ver I01 en la figura adjunta)
3 Velocidades angulares en función de la posición
Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:
En el movimiento {21}, conocemos la velocidad (dato) del punto y la velocidad (nula) del punto 
. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:
Por tanto:
En cuanto al movimiento {01}, conocemos la velocidad (nula) del punto , que ha sido gráficamente determinado pero
cuya posición podemos expresar analíticamente mediante simple inspección geométrica de la figura:
![\overrightarrow{O_1I_{01}}=[R+L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1+L\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1](/wiki/images/math/b/2/0/b203ffcda6cc1e5d45d0f2d946f3a7ed.png)
Y, por otra parte, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto 
, deducimos el valor de la velocidad de en el movimiento {01}:
De modo que, relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}, podemos deducir el valor de la correspondiente velocidad angular:
![\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{I_{01}}_{01}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1
\end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{I_{01}}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times
\overrightarrow{I_{01}C}\,\,\Rightarrow\,\,
v_0\,\vec{\jmath}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_1\times
[-L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1
\,\,\Rightarrow\,\,v_0=-\omega_{01}L\,\mathrm{sen}(\theta)
\,\,\Rightarrow\,\,\omega_{01}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}](/wiki/images/math/a/7/c/a7c7337154e1cdc4dc3830707c303705.png)
Por tanto:
Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:
![\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\Rightarrow\,\,
\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=
\left[\frac{v_0}{R}+\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\right]\,\vec{k}_1](/wiki/images/math/a/e/e/aeea72846c805e51f29a0d8027d0000d.png)
