No Boletín - Composición de aceleraciones angulares (Ex.Ene/12)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:58 11 nov 2012; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Dados tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2"), se conocen como funciones del tiempo las siguientes velocidades angulares:

$\vec{\omega}_{01}(t)=\alpha_0\,t\,\vec{k}_0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\jmath}_0$ ( $\alpha_0\,$ y $\Omega\,$ son constantes conocidas)

donde $\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\,$ es una base ortonormal que se mueve solidariamente con "0".

Determine la aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}(t)\,$

2 Solución

Calculamos las aceleraciones angulares de los movimientos {01} y {20}:

$\vec{\alpha}_{01}(t)=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\underbrace{\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{01}}_{=\vec{0}}=\alpha_0\,\vec{k}_0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\alpha}_{20}(t)=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}$

y a continuación determinamos la aceleración angular del movimiento {21} mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:

$\vec{\alpha}_{21}(t)=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}(t)+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\alpha_0\,\vec{k}_0+\vec{0}+\alpha_0\,t\,\vec{k}_0\times\Omega\,\vec{\jmath}_0=-\Omega\alpha_0\,t\,\vec{\imath}_0+\alpha_0\,\vec{k}_0=-\alpha_0\left(\Omega\,t\,\vec{\imath}_0-\vec{k}_0\right)$

También se puede calcular la aceleración angular del movimiento {21} derivando respecto al tiempo la velocidad angular de dicho movimiento (que habrá que calcular previamente por composición de velocidades angulares):

$\vec{\omega}_{21}(t)=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\jmath}_0+\alpha_0\,t\,\vec{k}_0\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\vec{\alpha}_{21}(t)=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}=\alpha_0\,\vec{k}_0-\Omega\alpha_0\,t\,\vec{\imath}_0=-\alpha_0\left(\Omega\,t\,\vec{\imath}_0-\vec{k}_0\right)$

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