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No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)

De Laplace

1 Enunciado

¿Es correcta la siguiente fórmula para calcular el área del cuadrilátero ABCD\,?

\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|

2 Solución

La respuesta es sí. Para comprobarlo, llamamos \,O\, al punto en el que se cortan la dos diagonales del cuadrilátero, y descomponemos cada diagonal del siguiente modo:

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}

Entonces, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, la fórmula puede desarrollarse así:

\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|=\frac{1}{2}\,|(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})\times(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD})\,|=\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\,|=

=\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{BO}\,|+\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{OD}\,|+\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{BO}\,|+\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\,|=

= area(AOB) + rea(AOD) + rea(COB) + rea(COD) = rea(ABCD)

Pero obsérvese que los cuatro productos vectoriales que aparecen sumados en la expresión a la que hemos llegado tienen todos idéntica dirección y sentido (perpendiculares al plano del cuadrilátero y de sentido saliente). Por tanto, en este caso el módulo de la suma vectorial coincide con la suma de los módulos de los sumandos:

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Area_de_un_cuadril%C3%A1tero_(Ex.Nov/12)"

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