No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)

De Laplace

Revisión a fecha de 00:21 10 nov 2012; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

¿Es correcta la siguiente fórmula para calcular el área del cuadrilátero $ABCD\,$ ?

$\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|$

2 Solución

La respuesta es sí. Para comprobarlo, llamamos $\,O\,$ al punto en el que se cortan la dos diagonales del cuadrilátero, y descomponemos cada diagonal en dos segmentos del siguiente modo:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}$

Entonces, la fórmula puede desarrollarse así:

$\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|=\frac{1}{2}\,|(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})\times(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD})\,|=\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\,|$

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