2.6. Tiro parabólico

De Laplace

Revisión a fecha de 22:46 3 oct 2012; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Celeridad y vector tangente
- 3.1 Celeridad
- 3.2 Vector tangente
4 Componentes intrínsecas de la aceleración
5 Radio y centro de curvatura
- 5.1 Radio de curvatura
6 Valores numéricos

1 Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}$

una posición inicial nula ( $\vec{r}_0=\vec{0}$ ) y una velocidad inicial que forma un ángulo $α$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v 0$ .

Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a mayor altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

2 Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2$

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

$\vec{r}_0 =\vec{0}$

mientras que la velocidad inicial posee módulo $v 0$ y forma un ángulo $α$ con la horizontal

$\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}$

lo que nos da el vector de posición en cada instante

$\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}$

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}$

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}$

Posición	Velocidad	Aceleración

3 Celeridad y vector tangente

El instante $t_1\,$ en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es:

Punto de máxima altura: La máxima altura se alcanza cuando $z$ tiene un máximo, esto es, cuando la componente $z$ de la velocidad es nula

$0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt_1$ $\Rightarrow$ $t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}$

La posición, velocidad y aceleración, en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Punto de máxima altura

$\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}$ $\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}$ $\vec{a}_1=-g\vec{k}$

3.1 Celeridad

la celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale

Punto de máxima altura

$v_1 = v_0\cos\alpha\,$

3.2 Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo

Punto de máxima altura

$\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_2}{v_2}=\vec{\imath}$

4 Componentes intrínsecas de la aceleración

4.1 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

$a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}$

Para el instante señalado es

Punto de máxima altura

$a_{t2}=0\,$

La aceleración es constante, pero la aceleración tangencial no lo es. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

$\vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{v^2}$

que nos da

Punto de máxima altura

$\vec{a}_{t1}=\vec{0}\,$

4.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando

$\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t$

Lo que nos da:

Punto de máxima altura

$\vec{a}_{n2}=-g\vec{k}$

En módulo, esta aceleración normal vale

Punto de máxima altura

$a_{n1}=g\,$

4.3 Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}$

y nos da

Punto de máxima altura

$\vec{N}_{1}=-\vec{k}$

Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.

Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

que da

$\vec{B}_1=\vec{\jmath}$

El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).

5 Radio y centro de curvatura

5.1 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

$R=\frac{v^2}{a_n}$

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

$R=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}$

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

$\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}$

lo que nos da, para este punto

$\vec{r}_{c}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\vec{k}$

6 Valores numéricos

La componente tangencial de la velocidad es igual a su módulo, que para el vértice de la parábola vale

$v = v_0\cos\alpha = \frac{25.0}{\sqrt{2}}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 17.7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

En el vértice de la parábola, según hemos visto, la aceleración es puramente normal, por lo que

$a_t = 0\,$ $a_n = 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

El radio de curvatura en este punto vale

$R = \frac{v^2}{a_n} = 31.9\,\mathrm{m}$

Por último, el centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición del vértice de la parábola y el radio de curvatura. La partícula alcanza el vértice en el instante en que velocidad vertical se anula

$t_2 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g} = 1.80\,\mathrm{s}$

La posición en ese momento es

$\vec{r}_2 = (31.9\,\vec{\imath}+15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}$

Sumando a este punto el radio de curvatura multiplicado por el vector normal

$\vec{r}_c = \vec{r}_2+R\vec{N}=(31.9\,\vec{\imath}-15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}$

El hecho de que resulte el simétrico es consecuencia de que el ángulo inicial sea de 45°. Para otros ángulos no se produce esta situación.

2.6. Tiro parabólico

De Laplace

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1 Enunciado

2 Posición, velocidad y aceleración

3 Celeridad y vector tangente

3.1 Celeridad

3.2 Vector tangente

4 Componentes intrínsecas de la aceleración

4.1 Aceleración tangencial

4.2 Aceleración normal

4.3 Vector normal

5 Radio y centro de curvatura

5.1 Radio de curvatura

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