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2.6. Tiro parabólico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

\vec{a}(t)=-g\vec{k}

una posición inicial nula (\vec{r}_0=\vec{0}) y una velocidad inicial que forma un ángulo α con la horizontal y tiene rapidez inicial v0.

  1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a mayor altura.
  3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
  4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

2 Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:

\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

\vec{r}_0 =\vec{0}

mientras que la velocidad inicial posee módulo v0 y forma un ángulo α con la horizontal

\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}

lo que nos da el vector de posición en cada instante

\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

\vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}


Archivo:parabolico-r.gif Archivo:parabolico-v.gif Archivo:parabolico-a.gif
Posición Velocidad Aceleración

3 Celeridad y vector tangente

El instante t_1\, en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es:

Punto de máxima altura
La máxima altura se alcanza cuando z tiene un máximo, esto es, cuando la componente z de la velocidad es nula
0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt_1   \Rightarrow    t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}

La posición, velocidad y aceleración, en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Punto de máxima altura
\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}        \vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}        \vec{a}_1=-g\vec{k}

3.1 Celeridad

la celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale

Punto de máxima altura
v_1 = v_0\cos\alpha\,

3.2 Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo

Punto de máxima altura
\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_2}{v_2}=\vec{\imath}

4 Componentes intrínsecas de la aceleración

4.1 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}

Para los tres instantes señalados es

Instante inicial
a_{t1}=-g\,\mathrm{sen}\,\alpha
Punto de máxima altura
a_{t2}=0\,
Punto de impacto
a_{t3}=g\,\mathrm{sen}\,\alpha

Vemos que, aunque la aceleración es constante, la aceleración tangencial no lo es. En el instante inicial es negativa, lo que indica que la partícula se está frenando. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola y a partir de ahí comienza a aumentar. En el punto de impacto la aceleración tangencial es positiva, lo que indica que la partícula se mueve cada vez más rápido.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

\vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{v^2}

que nos da

Instante inicial
\vec{a}_{t1}=-g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})
Punto de máxima altura
\vec{a}_{t2}=\vec{0}\,
Punto de impacto
\vec{a}_{t3}=g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})

4.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial en cada uno de los tres puntos calculamos la aceleración normal restando

\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t

Lo que nos da, en cada uno de los tres casos que estamos considerando

Instante inicial
\vec{a}_{n1}=-g\vec{k}+g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})=g\cos\alpha(\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k})
Punto de máxima altura
\vec{a}_{n2}=-g\vec{k}
Punto de impacto
\vec{a}_{n3}=-g\vec{k}-g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})=g\cos\alpha(-\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k})

En módulo, estas tres aceleraciones normales valen

Instante inicial
a_{n1}=g\cos\alpha\,
Punto de máxima altura
a_{n2}=g\,
Punto de impacto
a_{n3}=g\cos\alpha\,

4.3 Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}

y nos da

Instante inicial
\vec{N}_{1}=\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k}
Punto de máxima altura
\vec{N}_{2}=-\vec{k}
Punto de impacto
\vec{N}_{3}=-\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k}

Vemos que en todos los casos el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que estos vectores son ortogonales a los vectores tangentes en cada caso.

Podemos hallar el vector binormal en cada uno de los tres instantes, multiplicando el vector tangente por el normal

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}

que, en los tres casos da

\vec{B}_1=\vec{B}_2=\vec{B}_3=\vec{\jmath}

lo que corresponde al hecho de que estamos ante una trayectoria plana, que tiene, por tanto, un vector binormal constante.

Archivo:tiroparabolico.png

5 Radio y centro de curvatura

5.1 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

R=\frac{v^2}{a_n}

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

R=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}

lo que nos da, para este punto

\vec{r}_{c}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\vec{k}

6 Valores numéricos

La componente tangencial de la velocidad es igual a su módulo, que para el vértice de la parábola vale

v = v_0\cos\alpha = \frac{25.0}{\sqrt{2}}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 17.7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

En el vértice de la parábola, según hemos visto, la aceleración es puramente normal, por lo que

a_t = 0\,        a_n = 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

El radio de curvatura en este punto vale

R = \frac{v^2}{a_n} = 31.9\,\mathrm{m}

Por último, el centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición del vértice de la parábola y el radio de curvatura. La partícula alcanza el vértice en el instante en que velocidad vertical se anula

t_2 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g} = 1.80\,\mathrm{s}

La posición en ese momento es

\vec{r}_2 = (31.9\,\vec{\imath}+15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}

Sumando a este punto el radio de curvatura multiplicado por el vector normal

\vec{r}_c = \vec{r}_2+R\vec{N}=(31.9\,\vec{\imath}-15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}

El hecho de que resulte el simétrico es consecuencia de que el ángulo inicial sea de 45°. Para otros ángulos no se produce esta situación.

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